【ヘアピンマッチ】分布定数回路の整合（3）伝搬定数（γ＝α＋jβ）について（前半）

　ヘアピンマッチ計算で必要な知識が、伝搬定数γの虚数部：位相定数βです。
　一方、実部のαは減衰定数と呼ばれ、線路のロスを表しますが、通常の給電線の場合には、α≒0と見なします。しかし、位相定数βは無視できません。伝搬する電波の波長に関係して、伝送線路の位置によって、その位相状態が刻々と変わっていくからです。

　前回のアンテナ本の流れから、この伝搬定数について、アマチュア無線向けではない、少し詳しく解説した内容です。といっても、数学レベルは、単なる一次方程式の変形です。
　なお、今回の理論説明は長くなっているため、前半と後半に分けて行います。

（本論）
　前回の第5.4図(a)を使います。

　ab端子間の　上記の第５.４図（a）について、ａｂ端子の電圧Ｖ1あるいは電流Ｉ1が、a'b'端子に伝送するとき、どのように変化するかを求めます。
Ｖ1／Ｉ1＝Ｖ2／Ｉ2＝Ｚo
となることはわかります。
そこで
Ｖ1／Ｖ2＝Ｉ1／Ｉ2　　......（5.4）
の値を計算します。

　第５.４図(a)にキルヒホッフの法則を使い
Ｖ1＝｛（Ｚ/2）Δｘ＋（1/ＹΔｘ）｝Ｉ1－（1/ＹΔｘ）Ｉ2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　......（5.5）

Ｖ2＝（1/ＹΔｘ）Ｉ1－｛（Ｚ/2）Δｘ＋（1/ＹΔｘ）｝Ｉ2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　......（5.6）
とあらわすことができます。

　（5.6）式をＩ2で割りますと
Ｖ2／Ｉ2＝（1/ＹΔｘ）（Ｉ1/Ｉ2）－｛（Ｚ/2）Δｘ＋（1/ＹΔｘ）｝
∴　Ｚo（ＹΔｘ）＝（Ｉ1/Ｉ2）－｛（Ｚ/2）ＹΔｘ^2｝－1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.....（5.7）

（5.7）式のＺoに、（5.2）式の√（Ｚ／Ｙ）を代入して式を整理しますと
Ｉ1/Ｉ2＝1＋√（ＺＹ）Δｘ＋（ＺＹ/2）Δｘ^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.....（5.8）

（5.8）式において
√（ＺＹ）＝γ　　　　　　　　　　　　......（5.9）
※　本当はＺ,Ｙ,γともベクトルを表す「・」が上に付きます。
とおきますと
Ｉ1/Ｉ2＝1＋γΔｘ＋（γ^2／2）Δｘ^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　......（5.10）
　
（5.10）式の右辺は
ｅ^x＝１＋ｘ＋（ｘ^2／2！）＋･････
※　！は数学の階乗を意味です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　......（5.11）
の形となっています。また、γΔｘは１よりも非常に小さいという条件にすることができますから、（5.11）式のｘをγΔｘとおくと
Ｉ1/Ｉ2＝ｅ^（γΔｘ）　　　　　　　　......（5.12）
という等式になります。

この（5.12）式はΔｘの間の電流の伝送比を表し、これは電圧の伝送比の値でもあります。
　そこで、この伝送比をγ（ガンマ）として表し、γは単位長さあたりの電圧、電流の伝送比を表す値であって「伝搬定数」といいます。