(続)【ヘアピンマッチ】分布定数回路の整合（12）交流回路における直列←→並列回路の等価変換について
標記のことについては、「アンテナ理論」にも、その基礎である「電磁気学」とも無関係な分野での理論になります。具体的には、「交流理論」と呼ばれる電気理論です。
この交流理論については、電子回路といった弱電関係の分野というより、強電関係の分野が主体で、一般の工業高専の電気科、あるいは、工業高校の電気科のかたのほうが、馴染みが深い分野だと思います。
無線技術士や無線通信士においても、予備試験において出題されることもあることから、一番最初に習う専門分野の科目でした。ただ、アマチュア無線資格試験の無線工学分野では、今回の「アドミタンス」は登場しますが、その詳しい回路網の計算までは到達していないようです。
ですから、今回のヘアピンマッチ回路に適用する電気理論の基礎的な数式をまず、理解していただくことを目的として、予習項目として、本論の整合回路理論よりも先に実施することにしました。
内容的には、交流回路における直列回路のインピーダンス（並列回路だとアドミタンス）計算を直流回路の抵抗と同様な直列接続と並列接続に置き換えて理解できる数学レベルで十分です。
（本論）
1. 交流理論の教科書から
（直列回路）インピーダンス回路
Z＝R+jX
Ｚ；インピーダンス Ｒ；抵抗 Ｘ；リアクタンス
（並列回路）アドミタンス回路
Ｙ＝Ｇ+ｊＢ
Ｙ；アドミタンス Ｇ；コンダクタンス Ｂ；サセプタンス
ここで、Ｇ=1／R B＝1／X
また、YとZの関係は
Y＝1／Z
です。
Z＝√（R^2+X^2）と同様に
Y＝√（G^2+B^2）
が成り立ちます。
これより、直列回路のR,Xと等価な並列回路のG,Bは
Y＝√（G^2+B^2）
＝1／Z
＝1／√（R^2+X^2）
＝√【｛（R／（R^2+X^2）｝^2+｛（X／（R^2+X^2）｝^2】
∴
G＝R／（R^2+X^2）＝R／Z^2 [℧]
B＝X／（R^2+X^2）＝X／Z^2 [℧]
この関係を逆にみると
R＝G／（G^2+B^2）＝G／Y^2 [Ω]
X＝B／（G^2+B^2）＝B／Y^2 [Ω]
2. どちらもRとX素子として見た回路における直列→並列変換
上記、交流理論による直列←→並列回路の変換を次図に当てはめた場合
（1）直列 → 並列変換: 図(a)→(b)
図(a)のアドミタンスをYとすると
Y=1／(Rs+jXs)
=Rs／（Rs^2+Xs^2）−jXs／（Rs^2+Xs^2）
=1／Rs(1+Xs^2／RS^2)+1／jXs(1+Rs^2/Xs^2) .....①
と式変形できます。
ここでQ=Xs/Rsとおくと
Y=1／Rs(1+Q^2)+1／jXs(1+Q^−2) ....②
となります。
この式は、Yは抵抗Rs(1+Q^2)とリアクタンスjXs(1+Q^−2)の並列接続であることを意味しています。
よって、図(a)は(b)のように等価変換できます。
Q=Xs／Rs ...③
Rp=Rs(1+Q^2) ....④
③式を④式に代入すると
Rp＝Rs｛1+（Xs／Rs）^2｝
＝1/Rs・（Rs^2+Xs^2）
∴
Rp＝（Rs^2+Xs^2）／Rs ....⑤
Xp=(1+Q^-2)Xs ....⑥
⑥式に③式を代入すると
同様に
Xp＝（Rs^2+Xs^2）／Xs ....⑦
（2）直列→並列変換
Q=Rp／Xp ....⑧
Rs=Rp／(1+Q^2) .....⑨
⑦式を⑧式に代入すると
Rs＝Rｐ／｛1+（Xp／Rp）^2｝
∴
Rs＝Rp・Xp^2／（Rp^2+Xp^2） ....⑩
同様に
Xs=Xp1+Q^-2=RsQ ...⑪
⑪式に⑧式を代入
但し、Q^-2＝（Rp／Xp）^-2＝Xp^2／Rp^2
∴
Xs＝Xp・Rp^2／（Rp^2+Xp^2） ...⑫
以上の式導出によって、図における直列回路と並列回路の相互の等価変換は
Ａ．直列 → 並列変換: 図(a)→(b)
Rp＝（Rs^2+Xs^2）／Rs ....⑤
Xp＝（Rs^2+Xs^2）／Xs ....⑦
B．並列 → 直列変換: 図(ｂ)→(a)
Rs＝Rp・Xp^2／（Rp^2+Xp^2） ....⑩
Xs＝Xp・Rp^2／（Rp^2+Xp^2） ...⑫
なお、Xs、Xpの具体例は、ωLだったり、－1/ωCだったりといった単独のL,C素子だけでなく、RLC回路の場合には、(ωL－1／ωC）でもかまいません。
ただ、ヘアピンマッチの場合は、並列回路Xpとなる部分は、インダクタンスωLだけの回路でないと成り立ちません。そうなる理由は、本題のヘアピンマッチ整合回路で説明します。
（参考情報）
http://t-shirafuji.jp/lecture_notes/electric_circuits_i_open/Q_About_series_parallel_equivalent_conversion.pdf
この交流理論については、電子回路といった弱電関係の分野というより、強電関係の分野が主体で、一般の工業高専の電気科、あるいは、工業高校の電気科のかたのほうが、馴染みが深い分野だと思います。
無線技術士や無線通信士においても、予備試験において出題されることもあることから、一番最初に習う専門分野の科目でした。ただ、アマチュア無線資格試験の無線工学分野では、今回の「アドミタンス」は登場しますが、その詳しい回路網の計算までは到達していないようです。
ですから、今回のヘアピンマッチ回路に適用する電気理論の基礎的な数式をまず、理解していただくことを目的として、予習項目として、本論の整合回路理論よりも先に実施することにしました。
内容的には、交流回路における直列回路のインピーダンス（並列回路だとアドミタンス）計算を直流回路の抵抗と同様な直列接続と並列接続に置き換えて理解できる数学レベルで十分です。
（本論）
1. 交流理論の教科書から
（直列回路）インピーダンス回路
Z＝R+jX
Ｚ；インピーダンス Ｒ；抵抗 Ｘ；リアクタンス
（並列回路）アドミタンス回路
Ｙ＝Ｇ+ｊＢ
Ｙ；アドミタンス Ｇ；コンダクタンス Ｂ；サセプタンス
ここで、Ｇ=1／R B＝1／X
また、YとZの関係は
Y＝1／Z
です。
Z＝√（R^2+X^2）と同様に
Y＝√（G^2+B^2）
が成り立ちます。
これより、直列回路のR,Xと等価な並列回路のG,Bは
Y＝√（G^2+B^2）
＝1／Z
＝1／√（R^2+X^2）
＝√【｛（R／（R^2+X^2）｝^2+｛（X／（R^2+X^2）｝^2】
∴
G＝R／（R^2+X^2）＝R／Z^2 [℧]
B＝X／（R^2+X^2）＝X／Z^2 [℧]
この関係を逆にみると
R＝G／（G^2+B^2）＝G／Y^2 [Ω]
X＝B／（G^2+B^2）＝B／Y^2 [Ω]
2. どちらもRとX素子として見た回路における直列→並列変換
上記、交流理論による直列←→並列回路の変換を次図に当てはめた場合
（1）直列 → 並列変換: 図(a)→(b)
図(a)のアドミタンスをYとすると
Y=1／(Rs+jXs)
=Rs／（Rs^2+Xs^2）−jXs／（Rs^2+Xs^2）
=1／Rs(1+Xs^2／RS^2)+1／jXs(1+Rs^2/Xs^2) .....①
と式変形できます。
ここでQ=Xs/Rsとおくと
Y=1／Rs(1+Q^2)+1／jXs(1+Q^−2) ....②
となります。
この式は、Yは抵抗Rs(1+Q^2)とリアクタンスjXs(1+Q^−2)の並列接続であることを意味しています。
よって、図(a)は(b)のように等価変換できます。
Q=Xs／Rs ...③
Rp=Rs(1+Q^2) ....④
③式を④式に代入すると
Rp＝Rs｛1+（Xs／Rs）^2｝
＝1/Rs・（Rs^2+Xs^2）
∴
Rp＝（Rs^2+Xs^2）／Rs ....⑤
Xp=(1+Q^-2)Xs ....⑥
⑥式に③式を代入すると
同様に
Xp＝（Rs^2+Xs^2）／Xs ....⑦
（2）直列→並列変換
Q=Rp／Xp ....⑧
Rs=Rp／(1+Q^2) .....⑨
⑦式を⑧式に代入すると
Rs＝Rｐ／｛1+（Xp／Rp）^2｝
∴
Rs＝Rp・Xp^2／（Rp^2+Xp^2） ....⑩
同様に
Xs=Xp1+Q^-2=RsQ ...⑪
⑪式に⑧式を代入
但し、Q^-2＝（Rp／Xp）^-2＝Xp^2／Rp^2
∴
Xs＝Xp・Rp^2／（Rp^2+Xp^2） ...⑫
以上の式導出によって、図における直列回路と並列回路の相互の等価変換は
Ａ．直列 → 並列変換: 図(a)→(b)
Rp＝（Rs^2+Xs^2）／Rs ....⑤
Xp＝（Rs^2+Xs^2）／Xs ....⑦
B．並列 → 直列変換: 図(ｂ)→(a)
Rs＝Rp・Xp^2／（Rp^2+Xp^2） ....⑩
Xs＝Xp・Rp^2／（Rp^2+Xp^2） ...⑫
なお、Xs、Xpの具体例は、ωLだったり、－1/ωCだったりといった単独のL,C素子だけでなく、RLC回路の場合には、(ωL－1／ωC）でもかまいません。
ただ、ヘアピンマッチの場合は、並列回路Xpとなる部分は、インダクタンスωLだけの回路でないと成り立ちません。そうなる理由は、本題のヘアピンマッチ整合回路で説明します。
（参考情報）
http://t-shirafuji.jp/lecture_notes/electric_circuits_i_open/Q_About_series_parallel_equivalent_conversion.pdf
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