電磁気学(111)波動方程式(9)平面波(5)電場ベクトルと波の進行方向の関係から横波となる証明

　波動方程式の解となっているＥ(ｒ,t)を自由空間におけるマクスウェル方程式(13.1)～(13.4)に当てはめることで、電場と磁場がどのような波として伝搬しているかを探ります。
（本論）
自由空間におけるマクスウェル方程式は、
∇・Ｅ＝0　　　　　　　　　　　....(13.1)
∇・Ｂ＝0　　　　　　　　　　　.....(13.2)
∇×Ｅ＝－∂B／∂t　　　　　　　.....(13.3)
∇×B＝ε0μ0（∂Ｅ／∂t）　　　　.....(13.4)　
でした。

　まず、電場Ｅと波の方向ｋとの関係についてです。式(13.1)に平面波の解：式(13.10)を代入します。
E(ｒ,t)＝Ｅo sin(ｋE・ｒ－ωEｔ)　　　....(13.10)
ここでは、あえて磁場とのパラメータとの違いを明確にするため、ｋとωに添え字Ｅを添付しています。すると式(13.1)の左辺は、
∇・Ｅ＝∇・{Ｅo sin(ｋＥ・ｒ－ωEｔ)}
　＝(∇・Ｅo) sin(ｋE・ｒ－ωEｔ)＋Ｅo・∇ sin(ｋE・ｒ－ωEｔ)

　（∵　ベクトルの恒等式：ベクトルAとスカラーφの積の発散
　　　　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1075135560
　　　　∇・（φＡ）＝φ∇・Ａ＋Ａ・∇φ
　　　　A→Ｅo　φ→sin(ｋE・ｒ－ωEｔ)
　　）

　※上式において、∇・Ｅoは、式(13.1)の左辺と同じでゼロとなりますから、第一項はゼロとなって消えてしまいます。
∴
∇・Ｅ＝Ｅo・∇ sin(ｋＥ・ｒ－ωEｔ)
　ここで、直角座標の各成分別に表記しますと
　＝(Ｅox,Ｅoy,Ｅoz)・(∂／∂x,∂／∂y,∂／∂z)sin(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)

　※前回と同様にsin関数の各成分に微分を適用します。
　　そこで、ｘを代表としますとkExｘ以外のkEyｙ,kEzｚ,ωEｔはすべて、定数扱いして、それらは消えてしまいます。
　　（∂／∂ｘ）sin(ax+ｂ)→(d／dx)sin(ax+b)
　　　ここで、ｖ＝sin(ax+b)、u＝ax+bとおきますと
　　　合成関数の微分法に従えば、dv／dx＝（dv／du)･(du／dx)　
　　　dv／du＝(ｄ／du)sin(u)＝cos(u)　　...(1)
　　　du／dx＝(ａx+b)'＝a　...(2)
　　　∴　　
　　　(1)×(2)が求める答えとなって、
　　　dv／dx＝ａcos(u)
　　　ここで、u＝ax+bに戻しますと
　　　∴　dv／dx＝ａcos(ax+b)　...(3)
　　　ここで、元式では、a＝kEx、b=kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔが該当するので、それらを(3)に適用しますと
　　　kEx cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)　....(4)
　　　となります。同様にy,z成分について上記、合成関数微分式を適用しますと
　　　kEy cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)　....(5)
　　　kEz cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)　....(6)
　∴求める最終式は、(4)～(6)の総和とするのですが、このとき、注意すべきは、元の∇の各成分別の単位ベクトル（ｉ,ｊ,ｋ）はそのまま引き継いでいますから、
　　（kExｉ+kEyｊ+Ezｋ)cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)
　　これを行列で表記しますと単位ベクトルは省略できますから、
　　（kEx,kEy,kEz)cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)　　
∴
∇・Ｅ＝(Ｅox,Ｅoy,Ｅoz)・(kEx, kEy, kEz) cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)
　　　＝Ｅo・ｋE cos(kExｘ＋kEyｙ＋kEzｚ－ωEｔ)　　　....(13.25)
　（∵　ベクトル同士の内積Ａ・Ｂ＝(Ax,Ay,Az)・(Ｂx,Ｂy,Ｂz)を意味します。）
となります。自由空間では、∇・Ｅ＝0ですから、これの右辺は恒等的にゼロとなる必要があります。そのための条件は、
Ｅo・ｋE＝0　....(13.26)
です。これはベクトルＥoとｋEのスカラー積（内積）についての幾何学的イメージを適用しますと、「電場と平面波の進む方向は直交している。」と判明します。すなわち、電場の波は”横波”であると言えるのです。