電磁気学(117)波動方程式(15)平面波(11)補足(2)を改善：波数ベクトルｋと単位ベクトルｋを区分して表示

　波数ベクトルｋと直角座標のｚ軸に対する単位ベクトルｋの表記が同じであったので、ややこしい部分を今回改善しています。
　位置ベクトルｒ＝ｘｅx＋yｅy+ｚｅz　と表示します。ｅx,ｅy,ｅzは、それぞれx,y,z方向の単位ベクトルを表示しています。
　この表示によって、（補足2）は次のように書き換えできます。
（補足2）
　φ＝sin(ex・ｒ－ωt)としますと
　∇φ＝∇sin(ex・ｒ－ωt)となる勾配は、直角座標の各成分ごとの微分式で計算するために∇やベクトル部分を各成分で表示します。
　　∇＝（∂／∂x)ex＋（∂／∂y)ey＋（∂／∂ｚ)ez　
　　　　　　（ex,ey,ezはそれぞれx,y,z方向の単位ベクトル）　　
　　（波数ベクトル）ｋ＝kxex＋kyey+kzez
　　ｒ＝xex＋yey+zez
　　ｋ・ｒ＝kxｘ＋kyｙ＋kzｚ
　これから、各成分別の計算をします。
　　まず、ｘ成分だけの計算は、kxはｘの関数ではないので定数です。
　　それで、sin関数の中を変数ｘと定数a,b,cで表現します。すると
　　sin(ax＋b－c)のかたちに置換できます。
　　つまり、a=kxで定数扱いです。
　　(y,z成分)b＝kyｙ＋kzｚは偏微分だと定数扱いです。
　　(ωt部分)c＝ωtについてもｘの関数ではないので定数扱いです。
　　したがって、ｂとｃは合成関数での微分結果はゼロです。
　　　d/dx(ax＋b－c)＝ａ＋0－0
　∴　偏微分式はｘの常微分式となって
　　（∂／∂x)sin(ax＋b－c)＝(d／ｄx)sin(ax＋b－c)＝(ａ+0－0)cos(ax＋b－c)
　　　ここで、ａ=kxとb＝kyｙ＋kzｚ、c＝ωtと元式に戻しますと
　cos関数内のax+b＝kxｘ＋kyｙ＋kzｚ＝ｋ・ｒと元に戻ります。
　∴
　[ ∇sin(ｋ・ｒ－ωt) ]x成分＝kx cos(ｋ・ｒ－ωt)　...(1)　
同様にy,z成分を計算すれば、
　[ ∇sin(ｋ・ｒ－ωt) ]ｙ成分＝ky cos(ｋ・ｒ－ωt)　...(2)　
　[ ∇sin(ｋ・ｒ－ωt) ]z成分＝kz cos(ｋ・ｒ－ωt)　...(3)
　これら(1)～(3)を使い元の式にもどすと
　∇φ＝(1)ex＋(2)ey+(3)ez
　　　＝(kxex＋kyey+kzez) cos(ｋ・ｒ－ωt)
　　　＝ｋ cos(ｋ・ｒ－ωt)
となって、計算結果はベクトルとなります。すなわち、波数ベクトルｋに戻ります。そしてcosの項はスカラーのままですので、そのまま後ろに付きます。
　∴
　∇φ×Ｂo＝（ｋ×Ｂo) cos(ｋ・ｒ－ωt)