アンテナ本による理論数式の導出(3)マクスウェルの波動方程式（1）

　前回に引き続いて、アンテナ本の最初の章、すなわち、復習として電磁気学の基本をおさらいしながら、アンテナ理論へと結びつく理論基礎であって、今回のところはアンテナ本の項目だと「1.5　マクスウエルの波動方程式」となっています。

　マクスウェル方程式については、
マクスウェルの電磁方程式に立ち返る（その１）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201208article_10.html
と
マクスウェルの電磁方程式に立ち返る（その２）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201208article_11.html
のところを参考にしていただいて
　これにより導出できた結果と、ここから使うベクトル公式などをまとめておきます。

------------重要公式--------------
∇×∇×Ａ＝∇∇・Ａ－∇^2Ａ　...①
∇・∇×Ａ＝0　　　　　　　　....②
∇×∇Ｖ＝0　　　　　　　　....③
Ａ；ベクトル　Ｖ；スカラー
∇×Ｈ＝Ｊo＋(σ＋jωε)Ｅ　....④
　；マクスウェルの第1方程式（アンペール・マクスウェル法則）
∇×Ｅ＝－jωμＨ　　　　....⑤
　；マクスウェルの第2方程式（ファラデーの電磁誘導法則）
∇^2V＝（1／ｒ^2）･d／dr(r^2dV／dr)　...⑥
　ただし、Vはｒだけの関数とした場合の球座標におけるｒ方向成分を求めた場合
-----------------------------------
（補足）
(1)　jωは、LCR回路計算のjωLのjωと同じもので、正弦波のような周期的に時間変化をする連続波では、∂／∂t＝jωに置換できることにより、電磁気学のマクスウェル方程式は、アンテナ理論では、上記のように書き換えしています。
(2)　⑥式は、球座標における電位Vのラプラス式で、詳しくは、該当する部分で説明する予定です

（本論）
1.5　マクスウェルの波動方程式
　1.5.1　電磁界を求める方程式
　マクスウェルの電磁方程式を連立方程式としてＥ、又はＨだけの方程式を求めていきます。
マクスウェルの第１方程式
▽×Ｈ＝Ｊo＋（σ＋jωε）Ｅ　.....(1)
マクスウェルの第２方程式
▽×Ｅ＝－jωμＨ　　　.....(2)
から、式（２）の回転をとり、そこへ式（１）を代入しますと
▽×▽×Ｅ＝－jωμ▽×Ｈ　
　　　　　＝－jωμＪo＋（－jωμσ＋ω^2εμ）Ｅ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　....(3)
ここで　　　
　－jωμσ＋ω^2εμ＝k^2　.....(4)
と置きますと
▽×▽×Ｅ－k^2Ｅ＝－ｊωμＪo
∴　▽▽・Ｅ－▽^2Ｅ－k^2Ｅ＝－jωμＪo

（∵ベクトル公式解説のページ
ベクトル解析の公式（その１）
　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/201208article_7.html
　　　より、式（１）から
　　　　▽×▽×Ａ＝▽▽・Ａ－▽^2Ａ　
　　　を適用します。
)

また、ガウスの法則から　▽・Ｅ＝ρ／ε　ですから
▽^2Ｅ＋k^2Ｅ＝jωμＪo＋▽（ρ／ε）　.....(5)

同様に、磁界Ｈを求める式は
▽×▽×Ｈ＝▽×Ｊo＋（σ＋jωε）▽×Ｅ　
▽▽・Ｈ－▽^2Ｈ＝▽×Ｊo＋k^2Ｈ　
（∵　▽×Ｅ＝－jωμＨを右辺第２項へ代入すると
　　　（－jωμσ＋ω^2εμ）＝k^2
　）

また、磁界の発散はないので
▽・Ｈ＝０
ですから、左辺第１項は消えて
▽^2Ｈ＋k^2Ｈ＝－▽×Ｊo　.....(6)
となります。