ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(4)マクスウェルの波動方程式(2)

　前回の式(5)と(6)の微分方程式を解くことであらゆる条件の場合の電磁界を求めることができます。ただ、今回の目的は、これらの波動方程式と同じかたちとなる微小ダイポールのアンテナ電流から生じるベクトルポテンシャルＡについての波動方程式が必要なため、これを導出する模範事例として、電界と磁界の波動方程式の求め方を示しました。

　今回は、前回の続き部分です。但し、ここでは未だ前回の2組の波動方程式を解くことが問題ではありませんので、これらに関する自由空間など伝搬する空間の性質の違いにおける説明となっています。
（本論）
　前回で導出した各式
波数(スカラー量)；
－jωμσ＋ω^2εμ＝k^2　.....(4)
電界；
▽^2Ｅ＋k^2Ｅ＝ｊωμＪo＋▽（ρ／ε）　.....(5)
磁界；
▽^2Ｈ＋k^2Ｈ＝－▽×Ｊo　.....(6)

　まず、考える領域に電流源がないとしてもよい場合には、
Ｊo＝０
となります。

　さらに電荷も存在しないし、導電率も零のいわゆる自由空間では、
ρ＝０，σ＝０　
ですから、式(4)、(5)および(6)は
ｋ^2＝ω^2εμ　　　　....(7)
▽^2Ｅ＋ｋ^2Ｅ＝０　.....(8)
▽^2Ｈ＋ｋ^2Ｈ＝０　.....(9)
となります。

　式(8)と式(9)は、導波管内の電磁界を示す式です。また、式(5),(6),(8),(9)のような微分方程式を波動方程式と呼びます。そして、式(5)と(6)の右辺は、波動源を表します。また、ｋは、波数を呼ばれています。そして、ｋは、伝搬定数と呼ばれるγ（ガンマ）と関係しています。
γ＝±jｋ
　ここで、式(4)から
ｋ＝±√｛ω^2εμ（１－ｊσ／ωε）｝　....(10)

さらに、上式は実数部と虚数部に分けることができますので
γ＝α＋ｊβ
　α；減衰定数　β；位相定数

ここで、導電率σ＝０、すなわち無損失の空間では、この位相定数βは、
γ＝±ｊβ＝±ｊｋ
∴　β＝ｋ＝ω√（εμ）　....(11)
上記、式(10)は、電離層や大地上などで成り立つ式です。また、他の電波が伝わる空間では、だいたい式(11)が成り立ちます。

これが導体内となると導電率σ≫ωε　なので
∴　１≪σ／ωε
が成立しますから式(10)は、さらに簡単になります。

そして、式(5)と式(6)の解を求めたい場合は、右辺を０と置いた、式(8)と式(9)を満足する解を求めて、式(5)と(6)の特殊解を求めればできます。