ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(10)一般電磁界でのＶおよびＡの解を求める(1)

　ここからは時間変化を考えない”定常電磁界”から電界や磁界が時間変動する”一般電磁界”への理論を展開していきます。

（本論）
1.5.4　一般電磁界におけるＶとＡの計算
▽^2Ａ＋ｋ^2Ａ＝－Ｊo　.....(10)
▽^2Ｖ－ｋ^2Ｖ＝－ρ／ε　.....(11)
　式(10)と式(11)は、定常電磁界を含む一般電磁界の場合のベクトルポテンシャルおよびスカラーポテンシャルを与える方程式となっています。

　(11)式を解く場合には、
▽^2Ｖ－ｋ^2Ｖ＝０　....(17)
を満足するＶを求め、これに「ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(8)」で求めた式(11)の特殊解（定常電磁界の場合）を組み合わすことで、式(11)の微分方程式を満足する解を得ることができます。

ここでは、上記(8)記事の展開で導出できた次の式を使います。
▽＾2Ｖ＝(１／r) { (d^2／dr^2) rＶ }　....(1.92-3)
　前回ではこの式への展開説明を省略していましたが、
（∵
　▽^2Ｖ＝d^2 Ｖ／dr^2＋(2／r)dＶ／dr　....(1.92-2)
　　　　＝(１／r)･(d／dr) { (rdＶ／dr)＋Ｖ }
　　ここで　関数の積の微分は、(ｕｖ)’＝ｕｖ’＋ｕ’ｖ　
　　でした。これを逆に適用しますと
　　　(rdＶ／dr)＋Ｖ　⇒　d(rＶ)／dr
　　　よって、式（1.92-2）から式(1.92-3)が完成します。
　）

　これを式(17)へと代入しますと
(d^2／dr^2) (rＶ)＋ｋ^2 (rＶ)＝０　....(18)

　ここで、波数kは、空気中のように損失が少ない誘電体でならば
※ここから、波数（全角）ｋ→（半角）kと表示とします。べき乗式の項目で見やすくするためです。
k^2＝ω^2εμ　....(7)
となります。
（∵　ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(4)
　　マクスウェルの波動方程式(2)
　　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/519808308.html
　　の式(4)にρ＝0,σ＝0の条件により求まる式(7)になります。
　）

　ここで、式(18)を解くために
rＶ＝ae^(mr)
　※aやmは、単に定数、
　※e^(mr)は、exp(mr)；自然対数の底eのmr乗を示します。

　これを式(18)に代入して微分方程式を解きますと
m^2＋ｋ^2＝０

（∵
　　(d^2／dr^2){ ae^(mr) }＝－k^2 { ae^(mr) }
　　　ここでは、微分方程式を積分するのではなく　　　
　　　左辺をそのまま微分すると
　　　（∵　eの微分式をそのまま適用　
　　　　　(d／dｘ)e^bx＝be^bx　
　　　　）　　　
　　　∴
　　　(d／dr){ame^(mr)}＝－k^2 { ae^(mr) }
　　　さらにもう一度微分しますと
　　　am^2 e^(mr)＝－k^2 { ae^(mr) }
　
　　さらに両辺のaとe^(mr)は、約すことができます。
　　そして、右辺の項を再び左辺に戻してやれば、上記式である
　　m^2＋k^2＝０
　　が求まり、積分を使用した場合の積分定数は、必要ありません。
　）

∴　m＝±ｊk
∴　rＶ＝a’e^(－jkr)＋b’e^(jkr)　　....(19)
上式のrＶは、式(18)の微分方程式を完全に満足しています。
Ｖは、 r と t の関数という想定ですから、時間の項e^(jωt)をこれに付け加えてやる必要があります。

　そこで改めて任意の実数をa，bとしますと式(19)は、
rＶ＝ae^j(ωt－kr)＋be^j(ωt＋kr)　
∴
Ｖ＝(1／r){ae^j(ωt－kr)＋be^j(ωt＋kr)}　...(20)
となりました。