ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(11)一般電磁界でのＶおよびＡの解を求める(2)
今回で、スカラポテンシャルＶの解から簡単にベクトルポテンシャルＡの解を求めることができます。
（前回の続き）
前回の最終式で時間変動する電界を含めた”一般電磁界”におけるスカラポテンシャルＶを求めたことになります。ただし、最終式である
Ｖ＝(１／r) { a e^j(ωt－kr)＋b e^j(ωt＋kr) } ...(20)
は、一般電磁界での電位Ｖのポアソン方程式の一般解です。一般解ですので、ａとｂという任意の実数が生じています。これは、結局、微分方程式を両辺を積分していくと生じる積分定数と同じです。二階階微分なので２個の任意の実数が生じています。そこで、この任意の実数部分を求めていきます。
それには、「ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(8)」で求めました次の特殊解
1 ρdv
Ｖ＝──∫ ─── ....（16）
4πε v ｒ
※(補足)
ここで、dvは微小体積要素を表して、
電荷密度ρがある位置座標を(x’，y’，z’)とすると
dv＝dx’dy’dz’を意味します。
(x’，y’，z’)座標は、電荷密度ρが存在する座標で、
電位Ｖを計算する座標位置(x，y，z)ではありません。
したがって、ρとは
ρ(r’)＝ρ(x’，y’，z’)で表す関数です。
これに関しては、
電磁気理論第０弾 静電場その１０（静電ポテンシャル）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201003article_22.html
におけるスカラー関数φ(r）の式(１５）を参考として下さい。
※電磁気では、φでしたが、アンテナ理論は、Ｖで表示
φ(r）＝(1／4πε0）∫(1／｜r－r’｜）ρ(r’）d^3r’ ....(15)
これと今回の静電界の場合の式
Ｖ＝(1／4πε）∫(ρ／r）dv ....（16）
v
とは、同じものです。
したがって、式(16)の r は、厳密に書くと
r＝｜r－r’｜＝√｛(x－x’)^2＋(y－y’)^2＋(z－z’)^2｝
となって、Ｖを求める位置と電荷密度ρが存在する位置との距離のことです。
点電荷が原点にある場合は、原点からＶを求めたい位置までの距離は r そのものです。
また、式(15)で、dvはd^3r’(r’位置における微小な体積)で表現ですが同じものです。
次は式(16)を上記式(20)に代入していくのですが、その前に式(20)の意味するところを探りますと
k＝ω√(εμ)
(∵ k^2＝ω^2εμ ；前回記事参照)
は実数ですから、ωt－kr と ωt＋kr が波の位相を表しています。
すなわち、式(20)の右辺は、二つの位相をもつ波の合成値ということです。
そこで、式(20)の右辺第一項の波動が一定の位相Ｃでr方向へ進行するとして
ωt－kr＝Ｃ
この両辺を時間tで微分しますと
ωt－k(dr／dt)＝０
∴ 波の速度(dr／dt)＝ω／k＝1／√(εμ)＝ｃ ....(21)
ｃ；光速度
すなわち、dr／dtは、ある点の正方向の速度を表しますから、1／√(εμ)はＶの＋r方向に伝わる速度となって、
これは、光速度と一致します。
波数kは、距離1mあたりの位相の遅れを示すのですが、その場合には、kは実数のときであって、このときのkは位相定数となります。一般の場合だとkは、複素数となっていて、±jkは”伝搬定数”を表しています。
※（補足）
伝搬定数は、
ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(4)
マクスウェルの波動方程式(2)
https://jo3krp2.seesaa.net/article/519808308.html
の記事後半に記述しましたように
＞ｋは、伝搬定数と呼ばれるγ（ガンマ）と関係しています。
γ＝±jｋ
ここで、式(4)から
ｋ＝±√｛ω^2εμ（１－jσ／ωε）｝ ....(10)
さらに、上式は実数部と虚数部に分けることができますので
γ＝α＋jβ
α；減衰定数 β；位相定数
ここで、導電率σ＝０、すなわち無損失の空間では、この位相定数βは、
γ＝±jβ＝±jk
∴ β＝k＝ω√(εμ) ....(11)
上記、式(10)は、電離層や大地上などで成り立つ式です。
ここでは、kは、前者の位相定数として扱いします。一方、式(20)の右辺第二項の部分については、dr／dtは、負の値となるので反射波を示しますが、今回の条件に当てはまらないため、破棄します。
ゆえに式(20)は、
Ｖ＝(1／r)｛ａｅ^ｊ(ωt－kr)｝ ...(22)
となります。
ここへ、式(11)の特殊解である式(16)を代入しますと
Ｖ＝(1／4πε)∫(ρ／r)｛ｅ^j(ωt－kr) ｝dv ....(23)
（∵ 式(16)において
この場合、定常電磁界の場合の解であるので
位相項 j(ωt－kr)＝０ (∵ω＝０、k＝０)
∴ ｅ^j(ωt－kr)＝１
その場合には、式(22)と式(16)との右辺同士から
(ａ／r)＝(1／4πε)∫(ρ／r)dv
これを式(22)の右辺の(a／r)項へと代入しますと
(1／4πε)∫(ρ／r)｛ｅ^j(ωt－kr)｝dv
が求まります。
）
これで、一般電磁界における電位Ｖが完全に定まりましたから、求めたいベクトルポテンシャルＡは、Ｖの元の波動方程式である式(11)とベクトルポテンシャルＡの波動方程式である式(10)と対比してみますと、Ｖの解である式(23)から、(ρ／ε)のところを単にＪoに置き換えるだけで求まることがわかります。
∴
Ａ＝(1／4π)∫(Ｊo／r)｛ｅ^ｊ(ωt－kr)｝dv ....(24)
となって、ベクトルポテンシャルＡの解は簡単に求まりました。
（前回の続き）
前回の最終式で時間変動する電界を含めた”一般電磁界”におけるスカラポテンシャルＶを求めたことになります。ただし、最終式である
Ｖ＝(１／r) { a e^j(ωt－kr)＋b e^j(ωt＋kr) } ...(20)
は、一般電磁界での電位Ｖのポアソン方程式の一般解です。一般解ですので、ａとｂという任意の実数が生じています。これは、結局、微分方程式を両辺を積分していくと生じる積分定数と同じです。二階階微分なので２個の任意の実数が生じています。そこで、この任意の実数部分を求めていきます。
それには、「ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(8)」で求めました次の特殊解
1 ρdv
Ｖ＝──∫ ─── ....（16）
4πε v ｒ
※(補足)
ここで、dvは微小体積要素を表して、
電荷密度ρがある位置座標を(x’，y’，z’)とすると
dv＝dx’dy’dz’を意味します。
(x’，y’，z’)座標は、電荷密度ρが存在する座標で、
電位Ｖを計算する座標位置(x，y，z)ではありません。
したがって、ρとは
ρ(r’)＝ρ(x’，y’，z’)で表す関数です。
これに関しては、
電磁気理論第０弾 静電場その１０（静電ポテンシャル）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201003article_22.html
におけるスカラー関数φ(r）の式(１５）を参考として下さい。
※電磁気では、φでしたが、アンテナ理論は、Ｖで表示
φ(r）＝(1／4πε0）∫(1／｜r－r’｜）ρ(r’）d^3r’ ....(15)
これと今回の静電界の場合の式
Ｖ＝(1／4πε）∫(ρ／r）dv ....（16）
v
とは、同じものです。
したがって、式(16)の r は、厳密に書くと
r＝｜r－r’｜＝√｛(x－x’)^2＋(y－y’)^2＋(z－z’)^2｝
となって、Ｖを求める位置と電荷密度ρが存在する位置との距離のことです。
点電荷が原点にある場合は、原点からＶを求めたい位置までの距離は r そのものです。
また、式(15)で、dvはd^3r’(r’位置における微小な体積)で表現ですが同じものです。
次は式(16)を上記式(20)に代入していくのですが、その前に式(20)の意味するところを探りますと
k＝ω√(εμ)
(∵ k^2＝ω^2εμ ；前回記事参照)
は実数ですから、ωt－kr と ωt＋kr が波の位相を表しています。
すなわち、式(20)の右辺は、二つの位相をもつ波の合成値ということです。
そこで、式(20)の右辺第一項の波動が一定の位相Ｃでr方向へ進行するとして
ωt－kr＝Ｃ
この両辺を時間tで微分しますと
ωt－k(dr／dt)＝０
∴ 波の速度(dr／dt)＝ω／k＝1／√(εμ)＝ｃ ....(21)
ｃ；光速度
すなわち、dr／dtは、ある点の正方向の速度を表しますから、1／√(εμ)はＶの＋r方向に伝わる速度となって、
これは、光速度と一致します。
波数kは、距離1mあたりの位相の遅れを示すのですが、その場合には、kは実数のときであって、このときのkは位相定数となります。一般の場合だとkは、複素数となっていて、±jkは”伝搬定数”を表しています。
※（補足）
伝搬定数は、
ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(4)
マクスウェルの波動方程式(2)
https://jo3krp2.seesaa.net/article/519808308.html
の記事後半に記述しましたように
＞ｋは、伝搬定数と呼ばれるγ（ガンマ）と関係しています。
γ＝±jｋ
ここで、式(4)から
ｋ＝±√｛ω^2εμ（１－jσ／ωε）｝ ....(10)
さらに、上式は実数部と虚数部に分けることができますので
γ＝α＋jβ
α；減衰定数 β；位相定数
ここで、導電率σ＝０、すなわち無損失の空間では、この位相定数βは、
γ＝±jβ＝±jk
∴ β＝k＝ω√(εμ) ....(11)
上記、式(10)は、電離層や大地上などで成り立つ式です。
ここでは、kは、前者の位相定数として扱いします。一方、式(20)の右辺第二項の部分については、dr／dtは、負の値となるので反射波を示しますが、今回の条件に当てはまらないため、破棄します。
ゆえに式(20)は、
Ｖ＝(1／r)｛ａｅ^ｊ(ωt－kr)｝ ...(22)
となります。
ここへ、式(11)の特殊解である式(16)を代入しますと
Ｖ＝(1／4πε)∫(ρ／r)｛ｅ^j(ωt－kr) ｝dv ....(23)
（∵ 式(16)において
この場合、定常電磁界の場合の解であるので
位相項 j(ωt－kr)＝０ (∵ω＝０、k＝０)
∴ ｅ^j(ωt－kr)＝１
その場合には、式(22)と式(16)との右辺同士から
(ａ／r)＝(1／4πε)∫(ρ／r)dv
これを式(22)の右辺の(a／r)項へと代入しますと
(1／4πε)∫(ρ／r)｛ｅ^j(ωt－kr)｝dv
が求まります。
）
これで、一般電磁界における電位Ｖが完全に定まりましたから、求めたいベクトルポテンシャルＡは、Ｖの元の波動方程式である式(11)とベクトルポテンシャルＡの波動方程式である式(10)と対比してみますと、Ｖの解である式(23)から、(ρ／ε)のところを単にＪoに置き換えるだけで求まることがわかります。
∴
Ａ＝(1／4π)∫(Ｊo／r)｛ｅ^ｊ(ωt－kr)｝dv ....(24)
となって、ベクトルポテンシャルＡの解は簡単に求まりました。
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