ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(13)「光・電磁波工学」本による微小電流源からＡを求め方【まとめ】
今回までのおさらいを「アンテナ本による理論数式の導出(1)微小ダイポールの放射電磁界(1)はじめに」の回で紹介した同様の理論展開をしている次の文献から要点をまとめています。
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光・電磁波工学
西原 浩、岡村康行、森下克己 共著
オーム社
2020年9月5日
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微小電流源のベクトルＪと微小電流源Ｊを含む閉曲面の体積ｖと観測点Ｐとの関係を図示化してくれていますので前回までの積分式の意味合いが理解しやすいと思います。
（引用本の解説）
線状アンテナの基本要素は長さが十分短い微小な電線で、これを微小電流源と呼ぶ。
図7.4に示すように、微小電流源とは、角周波数ωの一様な電流Ｉが、長さΔl（L小文字）の微小な電線に流れている。このような微小電流源は、±Ｉ／ωの電荷がΔlの間隔をおいて存在しているダイポールと同等になり、微小電流ダイポール（微小DP）あるいはヘルツダイポールと呼ぶ。
次に、この微小電流DPからの電波の放射を考える。このような電波の放射の定式化には補助ベクトルを用いるのが便利である。
※補助ベクトルとは、ベクトルポテンシャルＡを指します。
任意のベクトルＡに対して、公式div(rotＡ)＝0が成り立ち、磁界Ｈはこの補助ベクトルを使えば、
Ｈ＝(1／μ0)rotＡ ....（7.1)
※divは「∇・」（発散）を、rotは「∇×」（回転）を意味しますから、アンテナ本と同形式で表すと
∇・（∇×Ａ）＝0
Ｈ＝(1／μ0)∇×Ａ ....（7.1)
以下、アンテナ本の表記に準じます。
ＥとＢはマクスウェル方程式のひとつ、
∇×Ｅ＝－μ0∂H／∂t ....(2.1)
で関係づけられているので、この式に(7.1)を代入して、
∇×(Ｅ+∂Ａ／∂t)＝0
；0は”ゼロベクトル”を指す。
もともと回転（∇×ベクトル量）が0となる電磁界は、ある任意関数Ｖの負勾配－∇Ｖで表されるので次式となる。
Ｅ＝－∇Ｖ－jωＡ ....（7.2）
（∵ ∂／∂t＝jω；波源が周期関数の場合
∴ Ｅ＝－jωＡ
ですが、上記の「回転＝0」の条件とは、
ヘルムホルツの定理のことです。
電磁気学(78)ベクトル(22)ヘルムホルツの定理
https://jo3krp2.seesaa.net/article/518906602.html
を参照していただくと
＞3 次元の任意のベクトル場 Ｅ に対し、
＞スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A で
＞E = − ∇ φ + ∇ × A) = − grad φ + rot A
＞で表すことができる。(ヘルムホルツの定理 )
で、（電位）φはここではVと表現し、 rot A＝0
ならば、（電界）Ｅは、－∇Vとなるから。
）
次に、マクスウェル方程式のもうひとつの関係式
∇×Ｈ＝Ｊ+ε0∂Ｅ／∂t ....（2.2）
に(7.1)、(7.2)式を代入して、
( ∇×(1／μ0)∇×Ａ＝Ｊ－ε0 jω(－∇Ｖ－jωＡ)
∇×∇×A＝μ0Ｊ－jε0μ0ω(－∇Ｖ－jωＡ)
∇×∇×A＝μ0Ｊ+jε0μ0ω(∇Ｖ）+ε0μ0ω^2Ａ
（∵ 虚数単位ｊ･ｊ＝j^2＝－1）
ここで、∇×∇×A＝∇（∇・A）－∇^2Aを左辺に適用します。
ベクトル解析の公式（その１）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201208article_7.html
∇（∇・A）－∇^2A＝μ0Ｊ+jε0μ0ω(∇Ｖ）+ε0μ0ω^2Ａ
∇^2A＋ε0μ0ω^2Ａ＝－μ0Ｊ+｛∇（∇・A）－jε0μ0ω(∇Ｖ）｝ ....①
）
Ｖ＝－(j／ωε0μ0)∇・Ａを用いると
（∵ ①式の右辺にある{ }部分を∇が全体にかかるように整理すれば、
｛∇（∇・A）－jε0μ0ω(∇Ｖ）｝＝∇｛(∇・A）－jε0μ0ωＶ｝
ここで、電位Vは任意の値をとることができるので、{ }式を消去するには、
V＝1／(jε0μ0ω)(∇・A）=－(j／ωε0μ0)∇・Ａ
と定めることで、①式が簡単になるからです。
）
∴
補助ベクトルＡは次式の波動方程式となる
ΔＡ+ε0μ0ω^2Ａ＝－μ0Ｊ ....(7.3)
※ Δ＝∇・∇＝∇^2；ラプラシアン演算子、ε0；真空中の誘電率、μ0；真空中の透磁率、Ｊ；微小電流源（微小ＤＰ）の電流密度を示します。
※ 残念なことにこの微分方程式の解き方は明示してくれていません。
図7.5のように原点Ｏから距離ｒ'の位置にある体積領域ｖの内部に波源Ｊ（位置ベクトルｒ',｜ｒ'｜＝ｒ'）がある場合を考える。原点から観測点Ｐ（位置ベクトルｒ）までの距離をｒ(＝｜ｒ｜)、波源から観測点までの距離をＲ＝｜ｒ－ｒ'｜とすると、補助ベクトルＡは次式で与えられる。
Ａ＝(μ0／4π)∫(Ｊ(ｒ')／Ｒ)｛ｅ^－jkr)｝dv ....(7.4)
ここで、R＝｜ｒ－ｒ'｜、波数ｋ＝2π／λ、λ；波の波長
※時間項のjωtは省略されていますが、ほぼ同じ解を得ています。
※μ0が冒頭にかかるのは、磁界Ｈ＝(1／μ0)∇×ＡとしているからでＨを用いる場合はこちらが正解です。一方、アンテナ本は、磁界Ｂ＝∇×Ａとした形式になっています。互いの関係は、Ｂ＝μ0Ｈ（真空中の場合）です。
次に、微小電流源から放射される電磁界を考える。この場合、電磁界は球面上に放射されるため。球座標系(ｒ,θ,φ)で考えると都合がよい。電流源が座標原点に置かれ、ｚ軸方向に向いているものとする。このときＲ＝ｒとなり、補助ベクトルＡの成分はｚ軸成分Ａzのみとなる。さらに、電流源の長さをΔl、太さを十分細いものとし、全電流を実効値Ｉを用いて考えれば、電流源の体積積分は、ＩΔlとなり、Ａzは次式のようになる。
Ａz＝(Ｉμ0Δl／4πr)ｅ^－jkr ....（7.5）
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光・電磁波工学
西原 浩、岡村康行、森下克己 共著
オーム社
2020年9月5日
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微小電流源のベクトルＪと微小電流源Ｊを含む閉曲面の体積ｖと観測点Ｐとの関係を図示化してくれていますので前回までの積分式の意味合いが理解しやすいと思います。
（引用本の解説）
線状アンテナの基本要素は長さが十分短い微小な電線で、これを微小電流源と呼ぶ。
図7.4に示すように、微小電流源とは、角周波数ωの一様な電流Ｉが、長さΔl（L小文字）の微小な電線に流れている。このような微小電流源は、±Ｉ／ωの電荷がΔlの間隔をおいて存在しているダイポールと同等になり、微小電流ダイポール（微小DP）あるいはヘルツダイポールと呼ぶ。
次に、この微小電流DPからの電波の放射を考える。このような電波の放射の定式化には補助ベクトルを用いるのが便利である。
※補助ベクトルとは、ベクトルポテンシャルＡを指します。
任意のベクトルＡに対して、公式div(rotＡ)＝0が成り立ち、磁界Ｈはこの補助ベクトルを使えば、
Ｈ＝(1／μ0)rotＡ ....（7.1)
※divは「∇・」（発散）を、rotは「∇×」（回転）を意味しますから、アンテナ本と同形式で表すと
∇・（∇×Ａ）＝0
Ｈ＝(1／μ0)∇×Ａ ....（7.1)
以下、アンテナ本の表記に準じます。
ＥとＢはマクスウェル方程式のひとつ、
∇×Ｅ＝－μ0∂H／∂t ....(2.1)
で関係づけられているので、この式に(7.1)を代入して、
∇×(Ｅ+∂Ａ／∂t)＝0
；0は”ゼロベクトル”を指す。
もともと回転（∇×ベクトル量）が0となる電磁界は、ある任意関数Ｖの負勾配－∇Ｖで表されるので次式となる。
Ｅ＝－∇Ｖ－jωＡ ....（7.2）
（∵ ∂／∂t＝jω；波源が周期関数の場合
∴ Ｅ＝－jωＡ
ですが、上記の「回転＝0」の条件とは、
ヘルムホルツの定理のことです。
電磁気学(78)ベクトル(22)ヘルムホルツの定理
https://jo3krp2.seesaa.net/article/518906602.html
を参照していただくと
＞3 次元の任意のベクトル場 Ｅ に対し、
＞スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A で
＞E = − ∇ φ + ∇ × A) = − grad φ + rot A
＞で表すことができる。(ヘルムホルツの定理 )
で、（電位）φはここではVと表現し、 rot A＝0
ならば、（電界）Ｅは、－∇Vとなるから。
）
次に、マクスウェル方程式のもうひとつの関係式
∇×Ｈ＝Ｊ+ε0∂Ｅ／∂t ....（2.2）
に(7.1)、(7.2)式を代入して、
( ∇×(1／μ0)∇×Ａ＝Ｊ－ε0 jω(－∇Ｖ－jωＡ)
∇×∇×A＝μ0Ｊ－jε0μ0ω(－∇Ｖ－jωＡ)
∇×∇×A＝μ0Ｊ+jε0μ0ω(∇Ｖ）+ε0μ0ω^2Ａ
（∵ 虚数単位ｊ･ｊ＝j^2＝－1）
ここで、∇×∇×A＝∇（∇・A）－∇^2Aを左辺に適用します。
ベクトル解析の公式（その１）
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201208article_7.html
∇（∇・A）－∇^2A＝μ0Ｊ+jε0μ0ω(∇Ｖ）+ε0μ0ω^2Ａ
∇^2A＋ε0μ0ω^2Ａ＝－μ0Ｊ+｛∇（∇・A）－jε0μ0ω(∇Ｖ）｝ ....①
）
Ｖ＝－(j／ωε0μ0)∇・Ａを用いると
（∵ ①式の右辺にある{ }部分を∇が全体にかかるように整理すれば、
｛∇（∇・A）－jε0μ0ω(∇Ｖ）｝＝∇｛(∇・A）－jε0μ0ωＶ｝
ここで、電位Vは任意の値をとることができるので、{ }式を消去するには、
V＝1／(jε0μ0ω)(∇・A）=－(j／ωε0μ0)∇・Ａ
と定めることで、①式が簡単になるからです。
）
∴
補助ベクトルＡは次式の波動方程式となる
ΔＡ+ε0μ0ω^2Ａ＝－μ0Ｊ ....(7.3)
※ Δ＝∇・∇＝∇^2；ラプラシアン演算子、ε0；真空中の誘電率、μ0；真空中の透磁率、Ｊ；微小電流源（微小ＤＰ）の電流密度を示します。
※ 残念なことにこの微分方程式の解き方は明示してくれていません。
図7.5のように原点Ｏから距離ｒ'の位置にある体積領域ｖの内部に波源Ｊ（位置ベクトルｒ',｜ｒ'｜＝ｒ'）がある場合を考える。原点から観測点Ｐ（位置ベクトルｒ）までの距離をｒ(＝｜ｒ｜)、波源から観測点までの距離をＲ＝｜ｒ－ｒ'｜とすると、補助ベクトルＡは次式で与えられる。
Ａ＝(μ0／4π)∫(Ｊ(ｒ')／Ｒ)｛ｅ^－jkr)｝dv ....(7.4)
ここで、R＝｜ｒ－ｒ'｜、波数ｋ＝2π／λ、λ；波の波長
※時間項のjωtは省略されていますが、ほぼ同じ解を得ています。
※μ0が冒頭にかかるのは、磁界Ｈ＝(1／μ0)∇×ＡとしているからでＨを用いる場合はこちらが正解です。一方、アンテナ本は、磁界Ｂ＝∇×Ａとした形式になっています。互いの関係は、Ｂ＝μ0Ｈ（真空中の場合）です。
次に、微小電流源から放射される電磁界を考える。この場合、電磁界は球面上に放射されるため。球座標系(ｒ,θ,φ)で考えると都合がよい。電流源が座標原点に置かれ、ｚ軸方向に向いているものとする。このときＲ＝ｒとなり、補助ベクトルＡの成分はｚ軸成分Ａzのみとなる。さらに、電流源の長さをΔl、太さを十分細いものとし、全電流を実効値Ｉを用いて考えれば、電流源の体積積分は、ＩΔlとなり、Ａzは次式のようになる。
Ａz＝(Ｉμ0Δl／4πr)ｅ^－jkr ....（7.5）
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