【補足】行列式計算とｅ関数等の微分について：ワイヤーアンテナ本にある理論(結果)式の導出(15)

　本文記事では、行列計算方法やその後の偏微分式が常微分式で解決する部分は解説できなかったので、今回の補足とします。
（本論）
1.　3行3列(三次元)の行列式の計算方法について
一般の3行3列(三次元)の行列式（これを”detＡ”と表現すると）を展開するには、次の方法があります。

さらに2行2列（二次元）となった部分の展開は、上記右辺の第1項から順番に
a11| a22　 a23 | =a11{ a22a33－a32a23}　....①
　 | a32 　a33 |

同様に第2項は、
a12| a23 　a21 | =a12{ a23a31－a33a21}　....②
　 | a33 　a31 |

同様に第3項は、
a13| a31 　a22 | =a13{ a31a32－a31a22}　....③
　 | a31 　a32 |
∴
detＡは
①+②+③
　＝a11{ a22a33－a32a23}
　　　　+a12{ a23a31－a33a21}
　　　　　　　+a13{ a31a32－a31a22}

　これを踏まえて、前回の∇×Ａの三次元行列を展開するには、一行目の単位ベクトルを主として、二次元行列に分解します。
(1)　Ｈrの場合
　ｒ方向成分の単位ベクトルerを行列より前に出して
　　 　　　｜　∂／∂θ　　　　　０　｜
Ｈrｅr＝ｅr｜　　　　　　　　　　　｜
　　 　　　｜　　rＡθ　　　　　０　｜

　　＝ｅr(　∂／∂θ×０　－　０×rＡθ　)
　　＝ｅr(　０　－　０　)
∴　Ｈr＝０

同様にして、両辺式の単位ベクトルは省略しますと
　　　　｜　０　　　∂／∂r　　　｜
Ｈθ＝ r ｜　　　　　　　　　　　｜
　　　　｜　０　　　　Ａr　　　｜

　　＝　r　(０×Ａr－0×∂／∂r)
　　＝０

最後のＨφ成分の一部は、このＨφの一部を△φと仮に指定しますと
（両辺式の単位ベクトルは省略）
　　　　　　 ｜　∂／∂r　　　　　∂／∂θ　｜
△φ＝(r sinθ)｜　　　　　　　　　　　　 ｜
　　　　　　 ｜　　Ａr　　　　　rＡθ　　｜

　　＝(r sinθ)｛(∂／∂r)(rＡθ)－∂Ａr／∂θ　｝

さらに、Ｈの全成分は行列式の前に｛１／(r^2sinθ)｝がありますから、Hφ成分にもこれを掛ける必要があります。
∴
Ｈφ＝｛１／(r^2sinθ)｝△φ
　　＝(１／r)｛　(∂／∂r)(rＡθ)－∂Ａr／∂θ　｝　....④
となります。これの両辺に単位ベクトルｅφを付加しますと本文記事の
Ｈ＝(ｅφ／r)｛　∂／∂r(rＡθ)－∂Ａr／∂θ　｝
となります。ここまでが、行列式の計算の結果です。

2.　偏微分式の解法について
　次に④式のＡrとＡθに本文内にある
Ａr＝Azcosθ　　　　　　　　　　　....(2.2)
Ａθ＝－Azsinθ　　　　　　　　　　....(2.3)
Ａz＝(ＩΔl／4πr)ｅ^-jκr　....(2.1)’
を代入しますと
Ａr＝(ＩΔl／4πr)cosθ・ｅ^-jκr　　...(2.5)
Aθ＝－(ＩΔl／4πr)sinθ・ｅ^-jκr　....(2.6)
となったので、これらを代入すると
Ｈφ＝｛　(ＩΔl／4πr)(－sinθ)(dｅ^-jκr／dr)　　　
　　　　－(IΔl／4πr^2)・ｅ^-jκr・(dcosθ／dθ)　｝
となります。
ここで、偏微分∂／∂rがd／dr、∂／∂θがd／dθとなるのは、それぞれ、変数がｒとθだけのかたちになるからです。

　ここで使う微分公式を過去記事から引用しますと
　第０章　はじめに(到達目標と使用するツール)
　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/201206article_1.html

　まず、ｅ関数の微分式の関係から
　ｄｅ^（nｘ）／ｄｘ＝ｎｅ^（nx）
　ここで、ｎ＝-jκ,　ｘ＝rとすれば次式となります。
ｄ(ｅ^-jκr)ｄr＝－jκ・ｅ^-jκr　
　次に
ｄ(cosθ)／dθ　は、三角関数の微分公式のとおり
(cosθ)’＝－sinθ　；「’」記号は微分を意味します。　
ですから、これらを上の式へ代入しますと
Ｈφ＝(ＩΔl／4πr)(－sinθ)(－jk・ｅ^-jκr)
　　　　－(ＩΔｌ／4πr^2)(－sinθ)ｅ^-jκr　　
左辺で共通できる　(ＩΔl／4π)と(sinθ)ｅ^-jκrをそれぞれ(　)外へとだして、逆に、rは（jk／r）と（1／r^2）となって(　)内に残します。また、負記号（－）は、そのペア組み合わせから前項と後項とも正となるから、結局
Ｈφ＝(ＩΔl／4π)｛(jκ／r)＋(1／r^2)｝sinθ・ｅ^-jκr　
となって　最終の式(2.7)を得ます。

【重要】
　指数関数であるｅのべき乗の微分・積分の意味合いについては、
　　指数関数ｅ^xの数学上の意味と微分積分学の計算
　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/201006article_2.html
を参考としてください。　
　　これを読めば、なぜ交流回路で、jωが付くのかを理解できます。