JO3KRPの独り言

JO3KRPの独り言 https://jo3krp2.seesaa.net/ 　今は、アマチュア無線関係の興味が薄れつつあります。しばらくは過去記事の見直しをしながら、興味あるテーマを見つけたいと考えています。　（2026/01/16　改訂） ja http://blogs.law.harvard.edu/tech/rss 　今は、アマチュア無線関係の興味が薄れつつあります。しばらくは過去記事の見直しをしながら、興味あるテーマを見つけたいと考えています。　（2026/01/16　改訂）アマチュア無線,オーディオ,電波,アンテナ,電磁気学,ベクトル krp no https://jo3krp2.seesaa.net/article/520224058.html 微分法基礎からテイラー展開まで(15)三角関数(2)いろいろな三角関数の導関数 Tue, 17 Mar 2026 09:59:20 +0900 　三角関数の種類すべての導関数の証明をするのは面倒なのでやりませんが、代表的のものをやります。(2)　y＝cos xの導関数　sin xの場合と同様の方法で求めることができますが、三角関数の性質を利用してy＝cos x＝sin(π/2－x)ゆえに、u＝π/2－x　とおけば、y＝sin u ですから、合成関数の微分法によって、dy／dx＝(dy／du)・(du／dx)　　　＝cosｕ・(－1)　　　＝－cos(π/2－x)　　　＝－sinｘ∴(d／dx)cos x＝－sin x.. ]]> 三角関数の種類すべての導関数の証明をするのは面倒なのでやりませんが、代表的のものをやります。
(2)　y＝cos xの導関数
　sin xの場合と同様の方法で求めることができますが、三角関数の性質を利用して
y＝cos x＝sin(π/2－x)
ゆえに、u＝π/2－x　とおけば、y＝sin u ですから、合成関数の微分法によって、
dy／dx＝(dy／du)・(du／dx)
　　　＝cosｕ・(－1)
　　　＝－cos(π/2－x)
　　　＝－sinｘ
∴
(d／dx)cos x＝－sin x

(3)　y＝tanｘとy＝cotｘの導関数
y＝tanｘ＝sinｘ／cosｘ
∴
y'＝（(sinｘ)’cosｘ－sinｘ(cosｘ)’}／cos^2
　（∵　商の導関数の公式より
　　y＝u／vのとき
　　Y'＝(u'v－uv’)／v^2
　　）
　＝（cos^2ｘ＋sin^2ｘ）／cos^2
　＝sec^2ｘ
　（∵　secｘ＝1／cosｘ　）
∴
(d／dx)tan x＝sec^2 x

同様に　cotｘ＝cosｘ／sinｘ　ですから
y'＝－1／sin^2ｘ＝－cosec^2ｘ
　　（∵　cosecｘ＝1／sinｘ　）
∴
(d／dx)cot x＝－cosec^2 x
　
(4)　y＝secｘとy＝cosecｘの導関数
　証明は省略しますが、
(d／dx)sec x＝secｘtan x
(d／dx)cosec x＝－cosecｘcot x
となります。

(5)　計算例　
y＝sin^3ｘの導関数を求める
(解)
u＝sinｘとおくと　ｙ=u^3ですから、合成関数の微分を使って
dy／dx＝(dy／du)・(du／dx)
　　　＝3u^2・cosｘ
　　　＝３sin^2ｘcosｘ
となって求まります。

参考ですが、y＝∫sin^3ｘdxとなる積分式は簡単ではありません。
解き方の一例として
電磁波(10）の補足：(10）アンテナ設置の初歩と三角関数の加法定理による解法(2)
https://jo3krp2.seesaa.net/article/201412article_25.html
を挙げておきます。
こちらは三角関数の加法定理から導ける三倍角の公式
sin３α＝３sinα－４sin^3 α
を利用することで解くことかできます。
そして、積分範囲が0からπのときは、
π
∫sin^3ｘdx＝4/3
0
となって、球の体積V＝4/3πr^3の”4/3”がこの計算からも求まるのが面白いところです。
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520224058 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520215967.html 微分法基礎からテイラー展開まで(14)三角関数(1)sin xの導関数 Mon, 16 Mar 2026 10:11:21 +0900 　今回から三角関数の微分についてです。肝のところは、sinθ／θのθ→0の極限が1に収束することを利用することです。これについては、関数の極限の中の微分法基礎からテイラー展開まで(5)関数の極限(3)三角関数にかかる極限https://jo3krp2.seesaa.net/article/520142665.htmlですでに紹介ずみです。　ここでは参考程度ですが、積分の場合の　∫(sinθ／θ)ｄθは、ダイポールアンテナのリアクタンス（約+ j42Ω）を計算するとき登場します.. ]]> 　今回から三角関数の微分についてです。肝のところは、sinθ／θのθ→0の極限が1に収束することを利用することです。これについては、関数の極限の中の
微分法基礎からテイラー展開まで(5)関数の極限(3)三角関数にかかる極限
https://jo3krp2.seesaa.net/article/520142665.html
ですでに紹介ずみです。
　ここでは参考程度ですが、積分の場合の　∫(sinθ／θ)ｄθは、ダイポールアンテナのリアクタンス（約+ j42Ω）を計算するとき登場します。しかし、通常の積分の計算方法ではこの計算ができません。「正弦積分」といい、関数Si(θ)として定義しています。通常はこの計算結果となる数値一覧表を利用して、そこから読み取る作業になります。ですが、この正弦積分関数Si(x)をテイラー展開することができて、無限級数として計算が可能となります。このような難関数にもテイラー展開は有効で強力な数学ツールです。
　具体的事例は、高調波アンテナのリアクタンス分を求めた過去の記事
　高調波アンテナ理論(28)電界強度と放射インピーダンス(12)正弦積分
　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/202106article_18.html
で紹介しています。
　　　 x　　　　　x
Si(x)＝∫(sin u／u)=∫(1／u)（u－u^3／3!＋u^5／5!+･･･)du
　　　 0　　　　　0
　　　＝x－x^3／(3・3!)＋x^5／(5・5!)+･･･
となる部分が該当します。
　これには三角関数がテイラー展開できることが関係します。そのため、これらの関係を理解する必要があるので、今回の三角関数の微分法は大変重要な意味があります。
（本論）
3.1　三角関数の導関数
(1)　y＝sinｘの導関数
　ｘの増分Δxに対するｙの増分をΔyとすれば
Δy＝sin(x+Δx)－sinx
　＝2cos(x＋Δ／2)sin(Δx／2)
（∵　高校数学で習う「三角関数」のうち、一番難敵の「加法定理」を覚えていますか？　このうち、sin(α±β)＝sin α cos β±cos α sin β　というのがあるのですが、この+と－の式を両辺で差し引きますと
　sin(α＋β)－sin(α－β)＝2(cos α sin β）　...(1)

　また、(α+β)／2＝γ（ガンマ）、(α－β)／2＝δ（デルタ）とおくと、両辺の和と差からα＝γ＋δ、β＝γ－δと置き換えることができて、次の式は、
　sin α－sin β＝sin(γ＋δ)－sin(γ－δ)となります。これを(1)式に代入しますと
∴
　sin α－sin β＝2cos γ sin δ
　　　　　　　＝2cos{(α+β)／2}sin{(α－β)／2}　....(2)
となる新たな公式を導出できました。
　この(2)式へα＝x+Δx、β＝xを代入しますと
　sin(x+Δx)－sinx＝2cos(x＋Δx)sin(Δx／2)
となります。
　）
∴　
y'＝lim　Δy／Δx
　　Δx→0
　　　　　2cos(x＋Δx)sin(Δx／2)
　＝lim　────────────
　　Δx→0　　　　　Δx

　　　　　　　　　　　　　　　sin(Δx／2)
　＝lim　cos(x＋Δx／2)　lim　──────
　　Δx→0　　　　　　　Δx→0　　Δx／2
　　　　　　　　 sinθ
ところが、lim　────＝1 ですから、右辺の第二因数は1に等しい。
　　　　　θ→0　　θ
よって
ｙ’＝cos x
すなわち、
(d/dx)sin x＝cos x
となります。
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520215967 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520208605.html 微分法基礎からテイラー展開まで(13)微分法の公式(3)陰関数の微分法 Sun, 15 Mar 2026 10:50:31 +0900 　今回のテーマは”円”と”接線”とその接点を原点Oとを結んだ直線とが直交していることを微分式で示すことです。円の方程式については、高校数学の（平面）幾何学で直線に続いて習う（習った）ところです。　中心が原点Oにある円の方程式は、x^2+y^2＝r^2　（r：円の半径）は一番最初に登場する円の式です。（本論）　原点を中心とする半径5の円の方程式はx^2+y^2＝25　すなわち、x^2+y^2－25＝0　....(1)です。この左辺のように二つの変数を含む式を一般にF(x,y)で.. １１６図＿円と接線.png

（∵　上図において、点P(x1,y1)における接線PTの方程式を求めます。
　　　点Pが円と座標軸との交点でないとき、直線OP及び接線PTの傾きをそれぞれm,ｍ'としますと直線OPの傾きｍ
　　　ｍ＝y1／x1　....(a)
　　PTはOPに垂直ですから、その傾きm'は
　　　m'＝－1／m＝－x1／y1　...(b)
　　となります。
　　（∵　2直線の関係で、互いに直交するときの垂直条件は
　　　　ｍ・m'＝－１
　　　　これの証明は代数幾何学の数学本を参照してください。
　　　）　
　　これから、接線PTの方程式は
　　直線の一般式　y＝m'x+b　...(c)（平面幾何学の直線を表す式）　
　　これが点P(x1,y1)を通るのですから、y1＝m’x1+b　...(d)
　　(c)式－(d)式により、ｂを消去すれば
　　ｙ－y1＝m'(x－x1)
　　となって、接線の傾きm'は(b式から代入すると
　　ゆえに接線PTの方程式は、
　　ｙ－y1＝－(x1／y1)(x－x1)　　
　　これが円の円周上にあることを使い、分母をはらって変形すると
　　∴　x1x＋y1y＝r^2　（円の接線の方程式）　　
　　ｙ＝－(x1／y1)ｘ+r^2／y1　　　
　　と求まります。
　　これに対して、線分PTは(a)式の関係から
　　ｙ＝(y1／x1)x＝mx　（原点Oを通るからｂ＝0）　
　　∴ｍ＝y／x　
　　です。
　　また、x^2+y^2－r^2＝0のｘで微分した結果
　　(4)式となることから、これが接線の傾きｍ'を示しているのですから、
　　m'＝dy／dx＝－x/y
　　一方で、線分OPの傾きは、常にm＝y/xなのですから、
　　ｍ・m'＝－1
　　となることから、＜注＞にある線分OPと接線PTが直交していることを証明できました。
)

（例）
　曲線　x^2－3xy＋y^2－4x+2y＋１＝0の点(1,-1)における接線の傾きを求める。
（解）
　上記方程式の両辺をxで微分します。
　2x－3(y＋xy’)＋2yy'－4＋2y'＝0
　（∵　3xyは積の微分、y^2は合成関数の微分を使います。）　
　求める接線の傾きをmとして、x＝1,y＝－1,y'＝mを上式に代入します。
　2－3(－1＋m)－2m－4＋2m＝0
　－3m＋2m－2m＝－2－3＋4
　∴　ｍ＝1／3
　となって求まります。
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520208605 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520200370.html 微分法基礎からテイラー展開まで(12)微分法の公式(2)合成関数の微分法 Sat, 14 Mar 2026 09:03:15 +0900 　前回の積の導関数と同様に今回紹介する合成関数は、物理学（電磁気学）で必ず登場します。(本論)(1)　合成関数の微分法【重要公式】　二つの関数　y＝f(u),u＝g(x)から作られる関数y＝f{g(x)}　　....(1)を、はじめの二つの関数の”合成関数”、または”関数の関数”といいます。　f(u)もg(x)もともに、ある区間で微分可能なとき、合成関数(1)の微分法を考えます。　xの増分Δxに対するuの増分をΔu、このΔuに対するyの増分をΔyとすれば、xの増分Δxに対する.. ]]> 前回の積の導関数と同様に今回紹介する合成関数は、物理学（電磁気学）で必ず登場します。
(本論)
(1)　合成関数の微分法【重要公式】
　二つの関数　y＝f(u),u＝g(x)
から作られる関数
y＝f{g(x)}　　....(1)
を、はじめの二つの関数の”合成関数”、または”関数の関数”といいます。

　f(u)もg(x)もともに、ある区間で微分可能なとき、合成関数(1)の微分法を考えます。
　xの増分Δxに対するuの増分をΔu、このΔuに対するyの増分をΔyとすれば、xの増分Δxに対するyの増分はΔyです。
Δy　　Δy　　Δu
──＝──・──
Δx　　Δu　　Δx

Δx→0のとき、Δu→0ですから、
dy　　　　　Δy　　　　Δy　　　　Δu　　dy　　du
──＝lim　 ──＝lim　──・lim　──＝ ──・──
dx　　Δx→0 Δx　Δu→0　Δu　Δx→0 Δx　　du　　dx

すなわち、
dy　　 dy　　du
──＝ ──・──＝f'(u)・g'(x)
dx　　 du　　dx

（例）
y＝(x^2+1)^3の微分は、
y＝u^3　u＝x^2+1とおいて、元の関数はこの二つの関数の合成関数となるので、
y'＝dy／dx＝(dy／du)・(du／dx）＝3u^2・2x
　u＝x^2+1と戻して
∴
y'＝6x(x^2+1)^2
と求まります。

　合成関数の微分法の公式を使って、rが任意の有理数のとき、
※有理数とは、2つの整数a,b(b≠0) を用いて、分数の形で表すことができる数です。整数、有限小数、循環小数（例:0.333･･･）はすべて有理数に含まれます。一方、円周率πや分数で表せない数は「無理数」と呼ばれます。
(d／dx)x^r＝rx^(r-1)
が成り立つことの証明は、
（解）
　r＝p／q（p,q：整数、q≠0）とし、y＝x^rとおけば、
y＝x^(p/q)
∴
y^q＝x^p
この両辺をxで微分します。
　yはxの関数ですから、左辺はxの"関数の関数”です。
∴
(d/dx)ｙ^p＝(d/dy)y^q・dy／dx＝qy^(q-1)・dy／dx
また、右辺は、(d/dx)x^p＝px^(p-1)となりますから、
qy^(q-1)・dy／dx＝px^(p-1)
∴
　　　　　　　　　x^(p-1)
dy／dx＝(p／q)・─────
　　　　　　　　　y^(q-1)
　　　　　　　　　　x^(p-1)
　　　＝(p／q)・────────
　　　　　　　　　ｘ^(p/q)(q-1)

　　　　　　　　　x^(p-1)
　　　＝(p／q)・───────
　　　　　　　　　ｘ^(p-p/q)

　　　＝(p／q)x^{(p-1)-p+(p/q)}
　　　＝(p／q)x^{(p/q)-1}
　　　＝rx^(r-1)
∴
(dy／dx)x^r＝rx^(r-1)
が証明できました。

（例）
y＝1／√(5x＋1)を微分します。
　u＝5x+1とおいて、y＝1／√u＝u^(-1/2)
∴
y'＝dy／dx＝dy／du・du／dx
　　　　　＝－(1/2)u^{(-1/2)-1}・5
∴
y'＝－(5／2)(5x+1)^(-3/2)
　＝－5／｛2(5x+1)√(5x+1)} ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520200370 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520191264.html 微分法基礎からテイラー展開まで(11)微分法の公式(1) Fri, 13 Mar 2026 09:29:35 +0900 　微分の公式にはたくさんの種類があって、全てを紹介しきれません。ここでは、物理分野、とくに電磁気学でよく用いられるものに限ります。ただ基本のところは丁寧に説明します。（本論）(1)　定数の導関数　y=c　（c：定数）はxを含みませんから、xが変わってもyは変わりません。よって、Δy＝0，Δy／Δx＝0∴y'＝lim　Δy／Δx＝0　　Δx→0∴dc／dx＝0(2)　y＝cf(x)の導関数　（c：定数）Δy＝cf(x+Δx)－cf(x)　＝c{f(x+Δx)－f(x)}∴　　　.. ]]> 微分の公式にはたくさんの種類があって、全てを紹介しきれません。ここでは、物理分野、とくに電磁気学でよく用いられるものに限ります。ただ基本のところは丁寧に説明します。
（本論）
(1)　定数の導関数
　y=c　（c：定数）
はxを含みませんから、xが変わってもyは変わりません。
よって、
Δy＝0，Δy／Δx＝0
∴
y'＝lim　Δy／Δx＝0
　　Δx→0
∴
dc／dx＝0

(2)　y＝cf(x)の導関数　（c：定数）
Δy＝cf(x+Δx)－cf(x)
　＝c{f(x+Δx)－f(x)}
∴
　　　　　f(x+Δx)－f(x)
Δy／Δx＝c───────
　　　　　　　　Δx
　　　　　　f(x+Δx)－f(x)
ｙ'＝c lim　───────＝c f'(x)
　　　Δx→0　　　Δx
∴
{cf(x)}'＝c f'(x)

(3) 和と差の導関数
　u,vをxの関数とし、y＝u＋vとおけば、yはxの関数です。ｘの増分Δxに対応するu,v,yの増分をそれぞれΔu,Δv,Δyとします。
ｙ＋Δy＝(u+Δu)＋(v+Δv)
∴
Δy＝Δu+Δv
Δy／Δx＝Δu／Δx+Δv／Δx
ここで、Δx→0とするときの極限をとりますと
dy／dx＝du／dx＋dv／dx
∴
(u+v)’＝u'＋v'
同様に
(u－v)’＝u'－v'
これから、三つ以上の関数の和または差についても同様となります。
（例）
ｙ=2x^3－4x+5のとき
y'＝(2x^3)'－(4x)＋(5)'
　＝6x^2－4

(4)　積の導関数【電磁気学で多用するので重要公式です。】
　u,vをxの関数とし、
y＝uv
とします。(2)と同様にΔxに対応する増分Δu,Δv,Δyを考えます。
Δy＝(u＋Δu)(v+Δv)－uv
　＝Δu(v+Δv)+uΔv
∴
Δy／Δx＝(Δu／Δx)(v+Δv)+u(Δv／Δx)
Δx→0のとき、Δv→0となりますから
dy/dx＝lim　Δy／dx＝(du／dx)v＋u(dv／dx)
　　　　Δx→0
∴
(uv)'＝u'v＋uv'
(例）
y＝(x^3+2x)(4x^2－3)のとき、
y'＝(x^3+2x)'(4x^2－3)＋(x^3+2x)(4x^2－3)’
　＝(3x^2+2)(4x^2－3)＋(x^3+2x)(8x)
　＝20x^4＋15x^2－6
※ｙの右辺を分解して多項式として、個々の項を微分しても同じ結果となります。しかし、電磁気学においては、この積の導関数で解を求めることが多々あります。

(5)　商の導関数
　積と同じく、商（割り算）の式もありますが、電磁気学ではほとんど活用する機会がありません。よって、こちらは結果のみを表示しておきます。
u,vをxの関数として
y=ｕ／v
のｙ'は、
ｙ'＝(u／v)'＝(u'v－uv’)／v^2
とくにu＝c（C：定数）のときは、u'＝0ですから
(c／v)'＝－c(v'／v^2)

　ここで、nが負の関数のとき、関数y＝x^nの導関数を考えます。
n＝－m　（m：正の整数）とおきますと
y＝x^n＝ｘ^(－m)＝1／x^m
ここで、商の導関数の公式を使いますと
　　　mx^(m-1)　　　　　　m
y'＝－─────　＝－────────
　　　　ｘ^2m　　　　ｘ^(2m-m+1)

　＝(－m)x^{(-m)-1}＝nx^(n-1)

となって、ｎが負の整数の場合も
ｄx^n／dx＝nx^(n-1)
が成り立ちます。 ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520191264 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520181667.html 微分法基礎からテイラー展開まで(10)導関数（の定義）と指数関数の導関数を求める式 Thu, 12 Mar 2026 09:33:22 +0900 　数式の操作の関係で、”微分"と”積分"はその操作方向が反対の関係です。今回の説明のようにある関数から、その導関数を求めるのが”微分”ですが、積分ではある関数の導関数があるとき、この導関数から元の関数（積分では”原始関数”という。）を求めることをしています。その意味で微分と積分は切っても切れない関係だといえます。ただ、求めたい目的はまったく異なります。とくに物理での微分と積分はそれが顕著であると言えるかもしれません。（本論）　関数y＝f(x)が、ある区間で微分可能なとき、その.. ]]> 数式の操作の関係で、”微分"と”積分"はその操作方向が反対の関係です。今回の説明のようにある関数から、その導関数を求めるのが”微分”ですが、積分ではある関数の導関数があるとき、この導関数から元の関数（積分では”原始関数”という。）を求めることをしています。その意味で微分と積分は切っても切れない関係だといえます。ただ、求めたい目的はまったく異なります。とくに物理での微分と積分はそれが顕著であると言えるかもしれません。
（本論）
　関数y＝f(x)が、ある区間で微分可能なとき、その区間内の任意の値x＝x1における微分係数f'(x)をもとの関数f(x)の”導関数”といいます。f(x)の導関数を求めることをf(x)を”微分”するといいます。すなわち、
　　　　　　　　　　　　　　f(x1＋Δx)－f(x1)　
f'(x1)＝lim　Δy／Δx＝lim　　────────
　　　　Δx→0　　　　Δx→0　　　　Δx
の数式操作をすることです。

y＝f(x)の導関数には、いろいろな記号があるのですが、ここでは、ｙ'，f'(x)，dy／dx，(ｄ／dx)f(x)といった表現を使います。

　また、（通常はあまり使用しませんが、）関数y＝f(x)における導関数y'＝f'(x)において、ｘのかわりにx1とおいたものにほかなりません。これを表すとき、y'x=x1、f'(x1)、(dy／dx)x=x1などを使います。

（例題）
　関数y＝x^n（n：正の整数）を微分する。
　※これは、『読むだけでわかる「微分」』本でも採り上げている微分の基本公式のひとつです。解き方は同様で、「順列・組合せ」で習う（習った）「二項定理」を使用して解きます。基本的な解法は紹介本で確認してください。ここでは、二項定理から導ける式をそのまま使って解きます。

二項定理
(a＋b)^n＝a^n+nC1 a^(n-1)b+nC2 a^(n-2)b^2+･･･
　　　　　　･･･+nCr a^(a-r)b^r+･･･b^n　(ｎ：自然数)　　

（解答）
ここで、a＝ｘ,b＝Δxとおいて、上記、二項定理の公式にしたがえば、
　yの増分Δyについて
　Δy＝(x＋Δx)^n－x^n
　　　　　　　　　n(n-1)
　　＝nx^(n-1)Δx＋────x^(n-2)(Δx)^2+････+(Δx)^n
　　　　　　　　　　2！

Δy　　　　　　　n(n-1)
──＝nx^(n-1)＋────x^(n-2)Δx+････+(Δx)^(n-1)　　...(1)
Δx　　　　　　　　2！

dy／dx＝lim　Δy／Δx＝nx^(n-1)
　　　　Δx→0
∴
ｄx^n／dx＝nx^(n-1)　　...(2)

これを使用した具体例を挙げますと
①　(x^4)’＝4x^3
②　(x^2)'＝2x
③　ｘ'＝1･x^0＝1
　ここから、ｎが負数、有理数、実数の指数に対しても上記(2)式が成り立つことが次回以降の微分の公式から証明できて、次のような計算も可能となります。
④　y＝1／x^2
　　y'＝(ｘ^-2)'＝－2x^(-2-1)＝－2／x^3
⑤　y＝1／√ｘ
　　ｙ'＝{x^（-1/2)}’＝－(1／2)x^{(-1/2)-1}＝－1／2ｘ^(3/2)
　　　＝－1／(x√x）
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520181667 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520173615.html 微分法基礎からテイラー展開まで(9)微分係数(2)ある点における微分係数と接線の傾きの関係 Wed, 11 Mar 2026 09:35:46 +0900 （前回の続き）　前回の最後の式　　　　　　　　　　　　 f(x1＋Δx)－f(x1)　f'(x1)＝lim　Δy／Δx＝lim　────────　　　Δx→0　　　　Δx→0　　　Δxこれを図で示しますと　これは、曲線y＝f(x)上の点Ｐを固定し、点Ｑを曲線に沿って点Ｐに限りなく近づけるとき、直線PQが限りなく近づく一定の直線PTの傾きを示しています。直線PTをこの曲線上の点Ｐおける接線といい、点Ｐを接点といいます。　すなわち、f'(x1)は点Ｐ(x1,f(x1))における.. １０４図.png

　これは、曲線y＝f(x)上の点Ｐを固定し、点Ｑを曲線に沿って点Ｐに限りなく近づけるとき、直線PQが限りなく近づく一定の直線PTの傾きを示しています。直線PTをこの曲線上の点Ｐおける接線といい、点Ｐを接点といいます。　すなわち、f'(x1)は点Ｐ(x1,f(x1))における接線PTの傾きを表します。 PTがx軸の正の向きと作る角をαとしますと f'(x1)＝tan α とくに、f'(x1)＝0ならば、接線はx軸に平行です。＜注1＞　角αが直角ならば lim　Δy／Δx Δx→0 は正または負の無限大となります。（∵　tan(π/2)＝±∞）これは点Ｐにおける接線がy軸に平行となる場合です。＜注2＞ lim　Δy／Δx　および　lim　Δy／Δx Δx→-0　　　　　　　　Δx→+0 をそれぞれ左方微分係数、右方微分係数といいます。＜注3＞　曲線がある点Ｐにおいて滑らか（連続）でない場合、左方微分係数と右方微分係数は一致しません。微分係数が存在するのは、左方および右方微分係数が一致する場合です。　関数f(x)がx＝x1で微分係数をもつとき、f(x)はx＝x1で”微分可能”であるといいます。f(x)がある区間のすべての点で微分可能のときf(x)はこの”区間で微分可能”であるといいます。（例題）　関数f(x)がx＝aで微分可能のとき、f(x)は連続であることの証明（解答）　　f(x)はx＝aで微分可能ですからf'(a)が存在し、　　　f(a＋h)－f(a)　 lim　────────＝f'(a) h→0　　　　h ところが、　　　　　　　　f(a＋h)－f(a) f(a＋h)－f(a)＝────────・h 　　　　　　　　　　　h ∴ 　　　　　　　　　　　　　　f(a＋h)－f(a) lim　{f(a＋h)－f(a)}＝lim　────────・lim　h h→0　　　　　　　　　h→0　　　ｈ　　　　　h→0 　　　　　　　　　　＝f'(a)・0 　　　　　　　　　　＝0 ∴ lim　f(a＋h)＝f(a) h→0 ∴ lim　f(x)＝f(a) x→a ゆえに、f(x)はx＝aで連続であることが証明できました。＜注4＞　関数f(x)がx＝aで微分可能のとき、f(x)はx＝aで連続ですが、この逆は必ずしも成り立つわけではありません。すなわち、x＝aで連続でも、その点で微分可能とは限らないのです。たとえば、関数|x|は、xのすべての点において連続ですが、x＝0では微分可能ではありません。　※次の絶対値ｘのグラフ図を見れば、x=0では左方および右方微分係数が一致しません。

]]> 　前回の最後の式
　　　　　　　　　　　　 f(x1＋Δx)－f(x1)　
f'(x1)＝lim　Δy／Δx＝lim　────────
　　　Δx→0　　　　Δx→0　　　Δx
これを図で示しますと

　これは、曲線y＝f(x)上の点Ｐを固定し、点Ｑを曲線に沿って点Ｐに限りなく近づけるとき、直線PQが限りなく近づく一定の直線PTの傾きを示しています。直線PTをこの曲線上の点Ｐおける接線といい、点Ｐを接点といいます。
　すなわち、f'(x1)は点Ｐ(x1,f(x1))における接線PTの傾きを表します。
PTがx軸の正の向きと作る角をαとしますと
f'(x1)＝tan α
とくに、f'(x1)＝0ならば、接線はx軸に平行です。
＜注1＞
　角αが直角ならば
lim　Δy／Δx
Δx→0
は正または負の無限大となります。
（∵　tan(π/2)＝±∞）
これは点Ｐにおける接線がy軸に平行となる場合です。
＜注2＞
lim　Δy／Δx　および　lim　Δy／Δx
Δx→-0　　　　　　　　Δx→+0
をそれぞれ左方微分係数、右方微分係数といいます。
＜注3＞
　曲線がある点Ｐにおいて滑らか（連続）でない場合、左方微分係数と右方微分係数は一致しません。微分係数が存在するのは、左方および右方微分係数が一致する場合です。

　関数f(x)がx＝x1で微分係数をもつとき、f(x)はx＝x1で”微分可能”であるといいます。f(x)がある区間のすべての点で微分可能のときf(x)はこの”区間で微分可能”であるといいます。

（例題）
　関数f(x)がx＝aで微分可能のとき、f(x)は連続であることの証明
（解答）　
　f(x)はx＝aで微分可能ですからf'(a)が存在し、
　　　f(a＋h)－f(a)　
lim　────────＝f'(a)
h→0　　　　h
ところが、
　　　　　　　　f(a＋h)－f(a)
f(a＋h)－f(a)＝────────・h
　　　　　　　　　　　h
∴
　　　　　　　　　　　　　　f(a＋h)－f(a)
lim　{f(a＋h)－f(a)}＝lim　────────・lim　h
h→0　　　　　　　　　h→0　　　ｈ　　　　　h→0
　　　　　　　　　　＝f'(a)・0
　　　　　　　　　　＝0
∴
lim　f(a＋h)＝f(a)
h→0
∴
lim　f(x)＝f(a)
x→a
ゆえに、f(x)はx＝aで連続であることが証明できました。
＜注4＞
　関数f(x)がx＝aで微分可能のとき、f(x)はx＝aで連続ですが、この逆は必ずしも成り立つわけではありません。すなわち、x＝aで連続でも、その点で微分可能とは限らないのです。たとえば、関数|x|は、xのすべての点において連続ですが、x＝0では微分可能ではありません。
　※次の絶対値ｘのグラフ図を見れば、x=0では左方および右方微分係数が一致しません。

]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520173615 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520165684.html 微分法基礎からテイラー展開まで(8)微分係数(1)平均変化率から微分係数（平均率）へ Tue, 10 Mar 2026 09:32:13 +0900 　ここから、本来の微分についての説明が始まります。『読むだけでわかる「微分」』本でいうと一番初めの「関数の接線」にかかる部分と同様です。微分は別に難しい計算をするわけではありません。ある関数があるとするとその関数のある点において、接線の傾きを求めているだけのことです。これはどれだけ複雑な微分式であっても同じことになります。（本論）2.1　微分係数　連続する関数　y＝f(x)において、変数xがx1からx2まで変化するとき、関数yはy1からy2まで変化するものとします。∴ｙ1＝f.. １０３-2図.png

　さらに x2＝x1＋Δx ですから Δy＝f(x1+Δx)－f(x1) よって、平均変化率は、 Δy　　　f(x1＋Δx)－f(x1)　 ──＝───────── Δx　　　　　　Δx この式で、Δxを限りなく0に近づけるとき、その極限値が有限な場合に、これをf(x)のx＝x1における”微分係数”または”変化率”といい、f'(x1)で表します。 ※ｆに「’」ダッシュ記号をつけます。つまり、　　　　　　　　　　　　 f(x1＋Δx)－f(x1)　 f'(x1)＝lim　Δy／Δx＝lim　──────── 　　　Δx→0　　　　Δx→0　　　Δx ]]> ここから、本来の微分についての説明が始まります。『読むだけでわかる「微分」』本でいうと一番初めの「関数の接線」にかかる部分と同様です。微分は別に難しい計算をするわけではありません。ある関数があるとするとその関数のある点において、接線の傾きを求めているだけのことです。これはどれだけ複雑な微分式であっても同じことになります。
（本論）
2.1　微分係数
　連続する関数　y＝f(x)
において、変数xがx1からx2まで変化するとき、関数yはy1からy2まで変化するものとします。
∴
ｙ1＝f(x1)　,　y2＝f(x2)
　いま、
Δx＝x2－x1
Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)
とおき、Δxをxの増分、Δyをyの増分といいます。
　ここで、ΔyとΔxの比
Δy　　　f(x2)－f(x1)　
──＝───────
Δx　　　　x2－x1
を、変数xがx1からx2まで変化するときの関数f(x)の"平均変化率”といい、平均変化率は、関数y＝F(x)のグラフ上の2点P(x1,y1)，Q(x2,y2)を通る直線の傾きに等しい。

　さらに
x2＝x1＋Δx
ですから
Δy＝f(x1+Δx)－f(x1)
よって、平均変化率は、
Δy　　　f(x1＋Δx)－f(x1)　
──＝─────────
Δx　　　　　　Δx
この式で、Δxを限りなく0に近づけるとき、その極限値が有限な場合に、これをf(x)のx＝x1における”微分係数”または”変化率”といい、f'(x1)で表します。
※ｆに「’」ダッシュ記号をつけます。
つまり、
　　　　　　　　　　　　 f(x1＋Δx)－f(x1)　
f'(x1)＝lim　Δy／Δx＝lim　────────
　　　Δx→0　　　　Δx→0　　　Δx ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520165684 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520157861.html 微分法基礎からテイラー展開まで(7)関数の連続性(2)ロルの定理へと続く Mon, 09 Mar 2026 09:48:51 +0900 (前回の続き)　前回の復習として、三角関数の問題をひとつ挙げます。（問題）　三角関数tan xの連続性について述べよ　（解答）　tan x＝sin x／cos x ですから、cos x=0となるxの値はｘ＝nπ＋π/2　(n:任意の整数)　　つまり、π/2ラジアン(角度90°)　の奇数倍のとき、tan xは、±∞となって定義できません。　ところが、sin x, cos xは任意の区間で連続ですから、関数tan xは上記の値を除く、他のすべての値に対して連続であるといえます。　.. １０１，１０２連続関数の定理.png

　今回の「最大値・最小値の定理」を利用したのが、「平均値の定理」を導出する前提とした「ロルの定理」になっています。学習すべき順序としたら、それを書く前に、こちらの「最大値・最小値の定理」を前置すべきだったといえます。　ベクトルの回転の補足(5)微分法の応用(3)ロルの定理　https://jo3krp2.seesaa.net/article/520036140.html ]]> 　前回の復習として、三角関数の問題をひとつ挙げます。
（問題）
　三角関数tan xの連続性について述べよ　
（解答）
　tan x＝sin x／cos x ですから、cos x=0となるxの値は
ｘ＝nπ＋π/2　(n:任意の整数)　
　つまり、π/2ラジアン(角度90°)　の奇数倍のとき、tan xは、±∞となって定義できません。
　ところが、sin x, cos xは任意の区間で連続ですから、関数tan xは上記の値を除く、他のすべての値に対して連続であるといえます。

　連続関数については、次の重要な性質があります。

　中間値の定理
①　関数 f(x) が区間[a,b]において連続で、f(a)とf(b)とが異なる符号をもつとき
f(x)＝0 （a＜x＜b)
　を満たす x が少なくとも一つ存在する。
②　関数 f(x) が区間[a,b]において連続で、λをf(a)とf(b)との間の任意の値とすれば、
f(x)＝λ （a＜x＜b)
　を満たすx が少なくとも一つ存在する。

　最大値・最小値の定理
③　区間[a,b]で欄続な関数 f(x) は有界で、最大値および最小値をもつ。

　上記①と②を示す次の２つの図における場合、③の区間[a,b]における f(x) の最大値はf(b)、最小値はf(a)となります。

　今回の「最大値・最小値の定理」を利用したのが、「平均値の定理」を導出する前提とした「ロルの定理」になっています。学習すべき順序としたら、それを書く前に、こちらの「最大値・最小値の定理」を前置すべきだったといえます。
　ベクトルの回転の補足(5)微分法の応用(3)ロルの定理
　https://jo3krp2.seesaa.net/article/520036140.html ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520157861 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520150194.html 微分法基礎からテイラー展開まで(6)関数の連続性(1) Sun, 08 Mar 2026 09:54:08 +0900 　前回の極限で述べた「ε(イプシロン)-δ(デルタ)論法」から見ると、数学は”重箱の隅”までこだわる必要があることを求められるようです。数学には、日本語でいう”曖昧さ”は許されないと言えるかもしれません。　今回の「関数の連続性」についても同様のようで、『読むだけでわかる「微分」』本だと「実数」に関して、その数直線上（ｘ軸上）に「穴」が無いことが問題とすべきことになるのですが、これを証明する方法として、デデキント（人名）が提唱した「数値軸上の切断」による証明が必要のようです。こ.. ]]> 前回の極限で述べた「ε(イプシロン)-δ(デルタ)論法」から見ると、数学は”重箱の隅”までこだわる必要があることを求められるようです。数学には、日本語でいう”曖昧さ”は許されないと言えるかもしれません。

　今回の「関数の連続性」についても同様のようで、『読むだけでわかる「微分」』本だと「実数」に関して、その数直線上（ｘ軸上）に「穴」が無いことが問題とすべきことになるのですが、これを証明する方法として、デデキント（人名）が提唱した「数値軸上の切断」による証明が必要のようです。これについては、『読むだけでわかる「微分」』本をご覧ください。

　結論だけを書きますと、「デデキントの切断」手法によって、数直線上における実数の並びには穴が無いことが証明できています。つまり、実数は連続しているという事実が、今回の関数の連続性には必要であることから説明しました。

（本論）
　2数a,b 　(a < b)について、a≦x≦bを満たす実数xの範囲を”閉区間”といい、[a,b]で表します。また、a＜x＜bを満たす実数xの範囲を”開区間”といい、(a,b)で表します。このほか、a≦x＜b，a＜x≦bなどを満たす実数xの範囲も考えられます。これらを総称して区間または変域といいます。

　関数f(x)の定義域に属する1点をaとします。x→aのとき、f(x)の極限値は存在するとは限りません。また、存在するとしてもf(a)と一致するとは限りません。

　いま、aがf(x)の定義域に属していて、極限値
lim　f(x)＝f(a)　　....(1)
x→a
となるとき、函数f(x)はx＝aで”連続である”といいます。

　関数f(x)がある区間のすべての点で連続であるとき、f(x)はこの区間で”連続である”、または、f(x)はこの区間で”連続関数である”といいます。
(例）
①　ｘ^2,sinx,cosx,2^xなどはxの任意の区間で連続関数です。
②　log2 xは、区間ｘ>0で連続関数です。

　ある区間で連続な関数のグラフはその区間で連続な曲線（一筆書きで描ける曲線）または直線になります。
＜注意＞
　連続の条件(1)式は、x＝ａ+hとおくとき
lim｛f(a+h)－f(a)｝＝0　　....(2)
h→0
と表すことができます。いま、f(a+h)－f(a)＝kとおけば、(2)式は
lim　ｋ＝0
h→0
となります。すなわち、関数 f(x) がx＝aで連続のとき、x が a からごくわずか h だけ変化するとき、関数の値も f(a) からごくわずか k だけ変化します。

　連続の条件(1)が満たされないとき、関数 f(x) は x=a で”不連続である”といいます。
（例）
　x≠0のとき、f(x)＝ｘ^2,　x＝0のとき f(x)＝1で与えられる関数 f(x) は、
lim　f(x)＝0　,　f(0)＝1
x→0
ですから、x＝0で不連続です。

　連続関数については次の性質があります。
f(x),g(x)が連続関数ならば
①　ｃf(x)　(c：定数),f(x)±g(x)およびf(x)・g(x)は連続関数
②　f(x)／g(x)は、g(x)≠0のとき、連続関数

(例）
関数(ｘ+1)／(x^2－3x+2)は、x＝1およびx＝2では定義されませんが、そのほかの点では連続です。
　（∵　x^2－3x+2＝(x－1)(x－2)＝0となるため　）
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520150194 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520142665.html 微分法基礎からテイラー展開まで(5)関数の極限(3)三角関数にかかる極限 Sat, 07 Mar 2026 09:26:47 +0900 　今回は、極限の最後として、三角関数における場合の極限について述べます。三角関数は、基礎数学で習う分野で、特に「無線工学」をはじめとする電気（電子）理論においては必須科目です。（本論）0＜θ＜π/2のとき。sinθ＜θ＜tanθとなります。　　円周上の任意の点をBとし、Bからｘ軸上への垂線の足をＨ、∠BOHをθとします。　　円周とｘ軸との交点Ａにおける接線がOBの延長と点Cで交わるとしますと、　　△ABO＜扇形ABO＜△COA　　それぞれの面積を三角関数を使い計算しますと　　.. ５１５三角関数不等式の証明.png

　　円周上の任意の点をBとし、Bからｘ軸上への垂線の足をＨ、∠BOHをθとします。　　円周とｘ軸との交点Ａにおける接線がOBの延長と点Cで交わるとしますと、　　△ABO＜扇形ABO＜△COA 　　それぞれの面積を三角関数を使い計算しますと　　(1/2)sinθ＜θ/2＜(1/2)tanθ　　　　　　　　　　　　　（∵　扇形面積：πr^2／(2πr／rθ））　　∴　sinθ＜θ＜tanθ 　）　また、sinθ＞0ですから、この不等式の各辺をsinθで割ると 1＜θ／sinθ＜1／cosθ 　（∵　tanθ＝sinθ／cosθ) ∴ cosθ＜sinθ／θ＜1 この式で、θ→+0とすれば、cosθ→1　ですから lim　sinθ／θ＝1 θ→+0 また、θが負で限りなく0に近づくときは、θ＝－θ'とおきますと sinθ／θ＝sin(－θ')／(－θ')＝sinθ'／sinθ 　（∵　sin(－θ)＝－sinθ　） θ→－0のとき、θ'→+0ですから lim　sinθ／θ＝lim　sinθ'／θ'＝1 θ→-0　　　　 θ'→+0 ∴ lim　sinθ／θ＝1　　....(1) θ→-0 　次にtanθ／θ＝(sinθ／θ)・(1／cosθ)ですから、(1)式によって lim　tanθ／θ＝1 θ→0 　※+0も－0も同じ結果となるから＜注意＞　ｘ→aのとき f(x)→b（b:定数）ならば、f(x)の極限は”有限確定である"といい、このとき関数 f(x)のx＝aにおける”極限値は存在する”といいます。　f(x)→＋∞, f(x)－∞のときは、単に”極限は確定である”といいます。その他の場合は f(x)の”極限は不定である”といいます。（例）　lim　sinθは不定です。　θ→∞ ]]> 今回は、極限の最後として、三角関数における場合の極限について述べます。三角関数は、基礎数学で習う分野で、特に「無線工学」をはじめとする電気（電子）理論においては必須科目です。

（本論）
0＜θ＜π/2のとき。sinθ＜θ＜tanθとなります。

　　円周上の任意の点をBとし、Bからｘ軸上への垂線の足をＨ、∠BOHをθとします。
　　円周とｘ軸との交点Ａにおける接線がOBの延長と点Cで交わるとしますと、
　　△ABO＜扇形ABO＜△COA
　　それぞれの面積を三角関数を使い計算しますと
　　(1/2)sinθ＜θ/2＜(1/2)tanθ　　　　　　　　　　
　　　（∵　扇形面積：πr^2／(2πr／rθ））　
　∴　sinθ＜θ＜tanθ
　）
　また、sinθ＞0ですから、この不等式の各辺をsinθで割ると
1＜θ／sinθ＜1／cosθ
　（∵　tanθ＝sinθ／cosθ)
∴
cosθ＜sinθ／θ＜1
この式で、θ→+0とすれば、cosθ→1　ですから
lim　sinθ／θ＝1
θ→+0

また、θが負で限りなく0に近づくときは、θ＝－θ'とおきますと
sinθ／θ＝sin(－θ')／(－θ')＝sinθ'／sinθ
　（∵　sin(－θ)＝－sinθ　）
θ→－0のとき、θ'→+0ですから
lim　sinθ／θ＝lim　sinθ'／θ'＝1
θ→-0　　　　 θ'→+0
∴
lim　sinθ／θ＝1　　....(1)
θ→-0

　次にtanθ／θ＝(sinθ／θ)・(1／cosθ)ですから、(1)式によって
lim　tanθ／θ＝1
θ→0
　※+0も－0も同じ結果となるから

＜注意＞
　ｘ→aのとき f(x)→b（b:定数）ならば、f(x)の極限は”有限確定である"といい、このとき関数 f(x)のx＝aにおける”極限値は存在する”といいます。
　f(x)→＋∞, f(x)－∞のときは、単に”極限は確定である”といいます。その他の場合は f(x)の”極限は不定である”といいます。
（例）
　lim　sinθは不定です。
　θ→∞
]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520142665 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520133677.html 微分法基礎からテイラー展開まで(4)極限(2)関数の極限(1) Fri, 06 Mar 2026 09:47:37 +0900 （本論）　ｘの関数f(x)において、xが一定の値ａに限りなく近づくとき、f(x)が一定の値ｂに限りなく近づくならば、xがａに近づくときのf(x)の”極限値”または”極限”はｂであるといい次のように表します。lim f(x)＝bx→aまたはx→aのときf(x)→b　この定義は厳密にいうと任意の小さな正の数 ε に対して、適当に正の数 δ が定められて、0＜|x－a|<δを満たす全てのxの値に対して|f(x)－b|<εが成り立つとき、xがaに近づくときの関数f(x)の.. ]]> 　ｘの関数f(x)において、xが一定の値ａに限りなく近づくとき、f(x)が一定の値ｂに限りなく近づくならば、xがａに近づくときのf(x)の”極限値”または”極限”はｂであるといい次のように表します。
lim f(x)＝b
x→a
または
x→aのときf(x)→b

　この定義は厳密にいうと

任意の小さな正の数 ε に対して、適当に正の数 δ が定められて、0＜|x－a|<δを満たす全てのxの値に対して|f(x)－b|<εが成り立つとき、xがaに近づくときの関数f(x)の極限値はbである。

となります。

※これは、『読むだけでわかる「微分」』本では、「ε(イプシロン)-δ(デルタ)論法」と称して紹介している理論だと解釈しています。ただ、高専の数学本では、これにかかる詳しい説明がなされていません。

　前記の紹介本には、”ゴルフクラブの性能を証明する”という例示により、この理論の説明がなされています。その詳細はここでは紹介できません。

　このヒントは、εは”error”、δは”distance”の頭文字を表現したもの（ゴルフクラブの性能の場合）となっており、 ε はゴルフクラブへ要求されているピン位置への到達誤差、 δ はそれを打つプレーヤーがそのピンに到達させる際に発生してしまう（理想の打ち方とのずれを意味する）手元誤差との関係を示したものと言えます。

　そして、一般論とすると「限りなく近づく」といった曖昧な表現が無くなって、「ある誤差範囲(ε)内に収めるための許容範囲(δ)が存在しているかだけを注目すればよい。」となるところがミソなのです。

　留意点として、xがaとは異なる値をとりながら、限りなくaに近づく場合について述べていること。また、f(x)はbに限りなく近づくだけでよくて、極限値ｂに到達するか否かは問題にしません。

　関数の極限値については、数列の極限の場合と同様に、次の等式が成り立ちます。
lim f(x)＝α,　lim g(x)＝β　ならば　
x→a　　　　x→a
①　lim c f(x)=cα　　（ｃ：定数）
　　ｘ→a
②　lim｛f(x)±g(x)｝＝α±β　
　　x→a
③　lim｛f(x)g(x)｝＝αβ　
　　x→a
④　lim｛f(x)／g(x)｝＝α／β　（g(x)≠0,β≠0）　
　　x→a

　変数xが一定のaより大きい値をとりながらaに限りなく近づくことをx→a＋0で表し、xがaより小さい値をとりながらaに限りなく近づくことをx→a－0で表します。
　とくに、a＝0のときは、x→0＋0,ｘ→0－0をそれぞれ、x→+0,x→－0で表します。
x→aはxが（aの）左右のどちらからでもaに限りなく近づくことを表します。

　次に、xが一定の値aに限りなく近づくとき、f(x)が限りなく大きくなるならば、xがaに近づくときf(x)は正の無限大になる、または、f(x)の極限は正の無限大であるといい、
lim f(x)＝+∞
x→a
または、
x→aのときf(x)→＋∞
と表します。
　f(x)が負の無限大になる。またはf(x)の極限は負の無限大である場合も同様に定義できて
lim f(x)＝－∞
x→a
または、
x→aのときf(x)→－∞
と表します。
（例）
lim 1／(x-1)＝＋∞
x→1+0

lim 1／(x-1)＝－∞
x→1-0

　さらに
lim f(x)＝α,　lim f(x)＝β　（α,β：定数）
x→∞　　　 x→∞
lim f(x)＝－∞,　lim f(x)＝＋∞
x→∞　　　　x→-∞
なども定義できます。

（例）
lim　2^x　＝＋∞
ｘ→∞

lim　2^x　＝0
ｘ→-∞

lim　（1/2)^x　＝0
ｘ→∞

lim　（1/2)^x　＝＋∞
ｘ→-∞

]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520133677 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520125513.html 微分法基礎からテイラー展開まで(3)極限(1)無限数列と実数 Thu, 05 Mar 2026 14:36:18 +0900 　『読むだけでわかる「微分」』本の展開だと「第一章」の最初のテーマは、”接線”です。その流れとは異なりますが、ここでは先に実数についての極限について採り上げます。（本論）1.1　実数の性質　無限数列a1,a2,････,an,････において、nを限りなく大きくしたとき、anが一定の値αに限りなく近づくのなら、lim　an＝αn→∞と表現し、αを数列{an}の極限値といいます。また、数列{an}はαに収束するといいます。無限級数の収束といる考え方を用いて、実数の性質を述べるこ.. ]]> 『読むだけでわかる「微分」』本の展開だと「第一章」の最初のテーマは、”接線”です。その流れとは異なりますが、ここでは先に実数についての極限について採り上げます。
（本論）
1.1　実数の性質
　無限数列
a1,a2,････,an,････
において、nを限りなく大きくしたとき、anが一定の値αに限りなく近づくのなら、
lim　an＝α
n→∞
と表現し、αを数列{an}の極限値といいます。また、数列{an}はαに収束するといいます。
無限級数の収束といる考え方を用いて、実数の性質を述べることができます。
　※数列については、高校数学の「代数学」で習う（習った）、「数列と級数」になります。今回は、この部分についての復習は省略します。
＜参考＞
無限数列の極限
https://hiraocafe.com/note/mugensuuretsu.html

　数列{an}において
a1≦a2≦････≦an≦････
が成り立つとき、{an}は”増加数列”であるといい、また、
a1≧a2≧････≧an≧････
が成り立つとき、{an}は”減少数列”であるといいます。
両方を合わせて"単調数列”といいます。
また、すべての自然数nについて|an|＜Mが存在するとき、数列{an}を"有界数列"をいいます。
　※|Ｘ|は、Ｘの絶対値を示します。

実数の基本性質1.
　有界な単調数列は収束する。（ワイエルシュトラス）

定数Mが存在して、
a1≦a2≦････≦an≦････＜M
または
a1≧a2≧････≧an≧････＞M
ならば、{an}は収束します。

実数の基本性質2.
　無限数列{an}が収束するための必要十分条件は、十分大きな自然数nが存在し、nより大きい自然数p,qに対して|ap－aq|をいくらでも小さくできることです。（コーシー）

※実数の基本性質1および2は同値であり、ともに実数の連続性を与えるものです。この実数が連続であることが微分では意味を持ちます。

　数列{an},{bn}が収束するときは、次の定理が成り立ちます。

定理　
　{an},{bn}が収束すれば、
①　lim　(an＋bn)＝lim　an＋lim　bn
　　n→∞　　　　　n→∞　　n→∞
②　lim　(an－bn)＝lim　an－lim　bn
　　n→∞　　　　　n→∞　　n→∞
③　lim　(an･bn)＝lim　an･lim　bn
　　n→∞　　　　　n→∞　n→∞
④　lim（an／bn)＝(lim　an)／(lim　bn)
　　n→∞　　　　　n→∞　　　n→∞　
　　ただし、bn≠0,lim　bn≠0
　　　　　　　　　n→∞

※数学本ではこれらを証明していますが、ここでは省略します。 ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520125513 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520113283.html 微分法基礎からテイラー展開まで(2)関数とは？ Wed, 04 Mar 2026 10:22:13 +0900 　『読むだけでわかる「微分」』本での最初の「プロローグ」にあるのが、「関数とは何か?」です。微分に関係なく、数学では必ず登場する「関数」についての定義というよりも、その考え方についての判りやすい具体例からの紹介をしています。それをここで紹介することはできません。ここでは、数学本からの堅苦しい定義になりますが、基本はこちらで押さえるほうが良いと思っています。こちらは、「基礎数学　大日本図書　1971.2.20　再販発行」からの引用です。（本論）1.　関数記号　ｘについての一次式.. ]]> 『読むだけでわかる「微分」』本での最初の「プロローグ」にあるのが、「関数とは何か?」です。微分に関係なく、数学では必ず登場する「関数」についての定義というよりも、その考え方についての判りやすい具体例からの紹介をしています。それをここで紹介することはできません。ここでは、数学本からの堅苦しい定義になりますが、基本はこちらで押さえるほうが良いと思っています。こちらは、「基礎数学　大日本図書　1971.2.20　再販発行」からの引用です。
（本論）
1.　関数記号
　ｘについての一次式をax＋b（a,bは定数）とし、ｘにさまざまな値を与えれば、ax＋bの値がそれに応じて（一意に）定まります。すなわち、ax＋bはｘの関数です。これを表すのに
f(x)＝ax＋b
と書きます。また、ｘについての二次式3x^2－2x＋1を
f(x)＝3x^2－2x＋1
x,yについての二次三項式x^2－4xy＋3y^2を
f(x,y)＝x^2－4xy＋3y^2
と書きます。これらの式は、それぞれｘの関数、x,yの関数であることを示します。
　f(x)やf(x,y)を関数記号といいます。
（例）
　f(x)＝3x^2－2x＋1において、ｘ＝1のときの値をf(1)で表します。
　∴
　f(1)＝3･1^2－2･1＋1＝2
　また、
　f(2)＝3･2^2－2･2＋1＝9

これを適用したのが、前回の
　　ｆ(0)＝（1+0)^n＝1
で、ｆ(x)＝(1＋x)^2のｘへ0を代入して計算すると1になります。

2.関数の定義
　一般に、ある文字が一定の数を表すとき、それを定数といい、これに対し、ある文字が、いろいろな数を表すとき、それを変数といいます。例えば、半径ｘ㎝の円の面積をｙ㎠としますと円の面積を示す式ｙ＝πｘ^2の場合、πは定数、ｙとxは変数ですが、ｘが定まるとそれに従ってｙが定まります。このような関係があるとき、ｙとｘとの間に関数関係がある、または、ｙはｘの関数（元々は、函数と表現していました。函は「はこ」の意味で、何でも入れられることと函の中国語の発音が、英語でのfunctionに近いからだとも言われています。詳しくは、『読むだけでわかる「微分」』本にあります。）であるといい、ｘを独立変数、ｙを従属変数といいます。

　ある変数の、変わることのできる範囲を、その変数の変域といいます。また、ｙがｘの関数であるとき、独立変数ｘ,従属変数ｙの変域をそれぞれ、定義域および値域といいます。
（例）
　ｙ＝πｘ^2では、ｘもｙも正の実数となるので、変域はｘ＞0,ｙ＞0で、定義域はｘ＞0,値域はｙ＞0です。

（参考）
定数；constant
変数；variable
関数(函数）；function
独立変数；independent variable
従属変数；dependent variable
変域；interval
定義域；domain
値域；range ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520113283 https://jo3krp2.seesaa.net/article/520105435.html 微分法基礎からテイラー展開まで(1)最終目的の1次近似とは？ Tue, 03 Mar 2026 09:54:05 +0900 　微分における「テイラー展開による高次式の1次近似」を理解するための数学分野の話題です。今回、理論のすすめかたを参考とするのは、『読むだけでわかる「微分」』本からの内容ですが、実際に使用する数式は、古い「微分積分学」本からの内容とする予定です。（本論）　高次式の1次近似とは、具体的には、　ある関数f(x)が次のような関数で表せるとしますとf(x)＝（1＋x)^nｘが0に近い場合だとf(x)≒1＋nxと近似的に表せることを意味します。（∵　　　ここで導きだす予定のテイラー展開の.. ]]> 微分における「テイラー展開による高次式の1次近似」を理解するための数学分野の話題です。
今回、理論のすすめかたを参考とするのは、『読むだけでわかる「微分」』本からの内容ですが、実際に使用する数式は、古い「微分積分学」本からの内容とする予定です。
（本論）
　高次式の1次近似とは、具体的には、
　ある関数f(x)が次のような関数で表せるとしますと
f(x)＝（1＋x)^n
ｘが0に近い場合だと
f(x)≒1＋nx
と近似的に表せることを意味します。

（∵　
　　ここで導きだす予定のテイラー展開のうち、ｘが0に近いとき
　　f(x)≒f(0)＋f'(0)ｘ
　　※　f(0)の展開をマクローリン展開という。
　　これをこのf(x)に適用すると
　　ｆ(0)＝（1+0)^n＝1
　　ｆ'(0)＝ｎ(1＋ｎ･0)^n-1
　　　　　＝ｎ
　　∴f(x)≒f(0)＋f'(0)ｘ＝1＋nx
　　となって求まります。
　）

（補足）
f'(x)＝ｎ(1+x)^n-1の求め方
　ベクトルの回転の補足(4)微分法の応用(2)関数値の増減
　　https://jo3krp2.seesaa.net/article/520028537.html
　の冒頭にて紹介しました微分公式、
　　dｘ^n／dx＝nx^n-1
　があります。
　　なお、こちらも後に説明しますが、合成関数の微分式を使用して
　(1＋x)＝uとおいて、
　f’(x)＝(df／du)・(du／dx)　が成り立ちます。
　df／du＝nu^n-1＝ｎ(1+x)^n-1
　du／dx＝d(1＋x)／dx＝1
　∴
　f’(x)＝ｎ(1+x)^n-1　
　が導出できました。
　　 ]]> 数学 krp blog:https://blog.seesaa.jp,jo3krp2/520105435